Номер 780, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 780, страница 272.

Условие.

780. (Индийская задача)

Показать, что

$\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}.$

Решение 4.

Для доказательства данного тождества возведем обе его части в квадрат. Так как обе части равенства положительны (корень из положительного числа и сумма корней из положительных чисел), то равенство их квадратов будет равносильно исходному равенству.

Сначала возведем в квадрат правую часть равенства: $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$.
Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + 2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$
$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$
$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Теперь рассмотрим левую часть. Возведение ее в квадрат дает подкоренное выражение:
$(\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}})^2 = 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$.

Упростим корни в этом выражении, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$
$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставим упрощенные значения обратно. Выражение для квадрата левой части принимает вид:
$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Мы видим, что квадраты левой и правой частей исходного равенства равны:
$10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$.

Так как обе части исходного равенства положительны и их квадраты равны, то и сами выражения равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем возведения обеих его частей в квадрат и показа того, что получившиеся выражения тождественно равны.