Номер 785, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 785, страница 273.

Условие.

785. Доказать, что если из трёхзначного числа вычесть трёхзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.

Решение 4.

Обозначим исходное трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ — количество сотен, $b$ — количество десятков, а $c$ — количество единиц. В алгебраической форме это число можно записать как:

$N_1 = 100a + 10b + c$

Поскольку число является трёхзначным, цифра сотен $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{cba}$. Его алгебраическая форма:

$N_2 = 100c + 10b + a$

Так как это число тоже трёхзначное, его первая цифра $c$ также не может быть нулём ($c \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Теперь найдём разность этих двух чисел:

$D = N_1 - N_2 = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$D = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:

$D = 99(a - c)$

В задаче требуется доказать делимость модуля полученной разности. Найдём модуль $|D|$:

$|D| = |99(a - c)| = 99 \cdot |a - c|$

Теперь проанализируем полученное выражение $99|a-c|$ на предмет делимости на 9 и 11.

Число 99 можно разложить на множители 9 и 11:

$99 = 9 \times 11$

Следовательно, модуль разности можно представить в виде:

$|D| = 9 \times 11 \times |a - c|$

Поскольку $|D|$ является произведением, в котором есть множители 9 и 11, то оно гарантированно делится нацело и на 9, и на 11. Величина $|a-c|$ является целым неотрицательным числом, так как $a$ и $c$ — это цифры.

Таким образом, доказано, что модуль разности трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 9 и 11.

Ответ: Модуль разности между трёхзначным числом $\overline{abc}$ и числом $\overline{cba}$ равен $|(100a+10b+c) - (100c+10b+a)| = |99a-99c| = 99|a-c|$. Так как один из множителей равен 99, а $99 = 9 \times 11$, то всё произведение делится нацело и на 9, и на 11, что и требовалось доказать.