Номер 778, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 778, страница 272.

Условие.

778. (Задача Диофанта) Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Найти это число.

Решение 4.

Обозначим искомое число переменной $x$. Согласно условию задачи, стороны прямоугольного треугольника связаны с этим числом следующим образом:

• Один катет ($a$) равен кубу числа: $a = x^3$.
• Второй катет ($b$) равен разности между кубом числа и самим числом: $b = x^3 - x$.
• Гипотенуза ($c$) равна сумме куба числа и самого числа: $c = x^3 + x$.

Поскольку длины сторон треугольника должны быть положительными, наложим ограничения на $x$:

• $a > 0 \Rightarrow x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$.
• $b > 0 \Rightarrow x^3 - x > 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) > 0 \Rightarrow x(x-1)(x+1) > 0$.

Решая систему неравенств, получаем, что $x$ должен быть строго больше 1, то есть $x > 1$.

Для любого прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для сторон в эту формулу:

$(x^3)^2 + (x^3 - x)^2 = (x^3 + x)^2$

Перенесем один из членов в правую часть для удобства вычислений:

$(x^3)^2 = (x^3 + x)^2 - (x^3 - x)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x^3+x$ и $B = x^3-x$.

$x^6 = ((x^3 + x) - (x^3 - x)) \cdot ((x^3 + x) + (x^3 - x))$

$x^6 = (x^3 + x - x^3 + x) \cdot (x^3 + x + x^3 - x)$

$x^6 = (2x) \cdot (2x^3)$

$x^6 = 4x^4$

Теперь решим полученное уравнение:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:

1. $x^4 = 0 \implies x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 1$.
2. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$.

Из этих двух корней только $x=2$ удовлетворяет условию $x > 1$. Значение $x = -2$ не подходит.

Таким образом, искомое число равно 2. Проверим это, найдя длины сторон треугольника:

• Катет $a = 2^3 = 8$.
• Катет $b = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.
• Гипотенуза $c = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Проверка по теореме Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Равенство $100 = 100$ выполняется.

Ответ: 2.