Номер 783, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 783, страница 272.

Условие.

783. (Задача Л. Эйлера) Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них $6\frac{2}{3}$ крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Решение 4.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:
Пусть $n_1$ — количество яиц у первой крестьянки, а $n_2$ — количество яиц у второй.
Пусть $p_1$ — цена за одно яйцо у первой крестьянки, а $p_2$ — цена за одно яйцо у второй.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Всего крестьянки принесли 100 яиц: $n_1 + n_2 = 100$
2. Они выручили одинаковые суммы денег. Обозначим эту сумму как $S$. Тогда: $S = n_1 \cdot p_1 = n_2 \cdot p_2$
3. Слова первой крестьянки: «Будь у меня твои яйца ($n_2$), я выручила бы 15 крейцеров». Это означает, что если бы первая крестьянка продала яйца второй по своей цене ($p_1$), она бы получила 15 крейцеров: $n_2 \cdot p_1 = 15$
4. Слова второй крестьянки: «А будь твои яйца ($n_1$) у меня, я выручила бы за них $6 \frac{2}{3}$ крейцера». Это означает, что если бы вторая крестьянка продала яйца первой по своей цене ($p_2$), она бы получила $6 \frac{2}{3}$ крейцера: $n_1 \cdot p_2 = 6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$

Теперь приступим к решению полученной системы.
Из уравнения (3) выразим цену $p_1$: $p_1 = \frac{15}{n_2}$.
Из уравнения (4) выразим цену $p_2$: $p_2 = \frac{20}{3n_1}$.

Подставим эти выражения для цен в уравнение (2) $n_1 \cdot p_1 = n_2 \cdot p_2$:
$n_1 \cdot \left(\frac{15}{n_2}\right) = n_2 \cdot \left(\frac{20}{3n_1}\right)$

Упростим полученное равенство:
$\frac{15n_1}{n_2} = \frac{20n_2}{3n_1}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) для данного уравнения:
$15n_1 \cdot 3n_1 = 20n_2 \cdot n_2$
$45n_1^2 = 20n_2^2$

Разделим обе части уравнения на 5:
$9n_1^2 = 4n_2^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку количество яиц $n_1$ и $n_2$ — величины положительные, мы берем только арифметические (положительные) корни:
$\sqrt{9n_1^2} = \sqrt{4n_2^2}$
$3n_1 = 2n_2$

Из этого соотношения мы можем выразить $n_2$ через $n_1$:
$n_2 = \frac{3}{2}n_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение (1) $n_1 + n_2 = 100$:
$n_1 + \frac{3}{2}n_1 = 100$
$\frac{2n_1 + 3n_1}{2} = 100$
$\frac{5n_1}{2} = 100$

Отсюда находим $n_1$:
$5n_1 = 200$
$n_1 = \frac{200}{5} = 40$

Теперь найдем $n_2$, используя уравнение (1):
$n_2 = 100 - n_1 = 100 - 40 = 60$

Таким образом, у первой крестьянки было 40 яиц, а у второй — 60. Это согласуется с условием, что у одной было больше яиц, чем у другой.

Проверка:
Найдем цены, по которым продавались яйца.
Цена первой крестьянки: $p_1 = \frac{15}{n_2} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ крейцера за яйцо.
Цена второй крестьянки: $p_2 = \frac{20}{3n_1} = \frac{20}{3 \cdot 40} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ крейцера за яйцо.
Выручка первой крестьянки: $S_1 = n_1 \cdot p_1 = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10$ крейцеров.
Выручка второй крестьянки: $S_2 = n_2 \cdot p_2 = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ крейцеров.
Выручки равны ($S_1=S_2$), все условия задачи выполнены.

Ответ: У первой крестьянки было 40 яиц, а у второй — 60 яиц.