Номер 787, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 787, страница 273.

Условие.

787. Доказать, что сумма $333^{555}+555^{333}$ делится на 37.

Решение 4.

Для доказательства того, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37, преобразуем данное выражение, используя свойства делимости и степеней.

Сначала проверим, делятся ли основания степеней, числа 333 и 555, на 37.

Выполним деление 333 на 37:

$333 \div 37 = 9$

Следовательно, число 333 можно представить как произведение $9 \times 37$.

Теперь выполним деление 555 на 37:

$555 \div 37 = 15$

Следовательно, число 555 можно представить как произведение $15 \times 37$.

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$333^{555} + 555^{333} = (9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333}$

Используя свойство степени произведения, которое гласит $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333} = 9^{555} \cdot 37^{555} + 15^{333} \cdot 37^{333}$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель в виде степени числа 37. Мы можем вынести за скобки общий множитель $37$ в наименьшей из присутствующих степеней, то есть $37^{333}$:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{555-333} + 15^{333})$

Упростим показатель степени у числа 37 внутри скобок:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333})$

Обозначим выражение в скобках как $K$: $K = 9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333}$. Поскольку числа 9, 37, 15, 555 и 222 являются целыми, то и результат вычисления $K$ будет целым числом.

Таким образом, исходная сумма может быть представлена в виде произведения:

$333^{555} + 555^{333} = 37^{333} \cdot K$

Так как исходное выражение является произведением целого числа $K$ и числа $37^{333}$, которое, очевидно, кратно 37, то и вся сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, сумма $333^{555} + 555^{333}$ делится на 37.