Номер 791, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 791, страница 273.

Условие.

791. Доказать, что сумма $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9.

Решение 4.

Чтобы доказать, что выражение $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9, можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Использование сравнений по модулю

Этот метод является наиболее быстрым и элегантным. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 9 равен 0. В математике это записывается как $N \equiv 0 \pmod{9}$.

Рассмотрим остаток от деления числа 10 на 9:
$10 = 1 \cdot 9 + 1$, следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{9}$.

Это свойство распространяется на любую натуральную степень числа 10:
$10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Применим это свойство к членам нашего выражения:
$10^{15} \equiv 1 \pmod{9}$
$10^{17} \equiv 1 \pmod{9}$

Теперь найдем, какой остаток дает число 74 при делении на 9. Сумма его цифр $7 + 4 = 11$. При делении 11 на 9 остаток равен 2. Значит:
$74 \equiv 2 \pmod{9}$.

Подставим полученные сравнения в исходное выражение:
$10^{15} + 10^{17} - 74 \equiv (1 + 1 - 2) \pmod{9}$
$\equiv 0 \pmod{9}$.

Так как выражение $10^{15} + 10^{17} - 74$ сравнимо с нулем по модулю 9, оно делится на 9 без остатка.

Способ 2: Использование признака делимости на 9 (по сумме цифр)

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для этого сначала преобразуем выражение в число.

Сумма $10^{15} + 10^{17}$ — это число, состоящее из цифр 1, 0, 1, за которыми следуют 15 нулей: $101\underbrace{00...0}_{15}$.

Теперь вычтем из этого числа 74:
$101\underbrace{00...0}_{15} - 74$

При вычитании "в столбик" из числа, оканчивающегося на ...00, мы "занимаем" у старших разрядов. В результате получаем число вида $100\underbrace{99...9}_{13}26$.

Найдем сумму цифр полученного числа:
Сумма цифр = $1 + 0 + 0 + \underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{13 \text{ раз}} + 2 + 6 = 1 + 13 \times 9 + 8 = 1 + 117 + 8 = 126$.

Проверим, делится ли 126 на 9. Сумма цифр числа 126 равна $1 + 2 + 6 = 9$.
Поскольку 9 делится на 9, то и число 126 делится на 9 ($126 = 14 \times 9$).

Так как сумма цифр числа $10^{15} + 10^{17} - 74$ делится на 9, то и само число делится на 9.

Ответ: Оба способа показывают, что данное выражение делится на 9, что и требовалось доказать.