Номер 784, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 784, страница 272.

Условие.

784. (Задача Э. Безу) Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Решение 4.

Для решения этой задачи обозначим первоначальную стоимость лошади, за которую ее купили, через $x$ (в пистолях).

Согласно условию, лошадь была продана за 24 пистоля. При этой продаже владелец потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь, то есть он потерял $x\%$.

Сумму потери (убытка) можно выразить двумя способами.
С одной стороны, убыток — это разница между ценой покупки и ценой продажи: $x - 24$.
С другой стороны, убыток составляет $x\%$ от первоначальной цены $x$. В денежном выражении это составляет: $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.

Приравняем оба выражения для суммы убытка, чтобы составить уравнение:
$x - 24 = \frac{x^2}{100}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от дроби:
$100 \cdot (x - 24) = x^2$
$100x - 2400 = x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$x_2 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Мы получили два возможных значения для первоначальной стоимости лошади. Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба корня условию задачи.
1. Если первоначальная цена была 40 пистолей ($x=40$), то процент потерь составил 40%. Сумма потери: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей. Цена продажи в этом случае: $40 - 16 = 24$ пистоля. Это соответствует условию задачи.
2. Если первоначальная цена была 60 пистолей ($x=60$), то процент потерь составил 60%. Сумма потери: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей. Цена продажи в этом случае: $60 - 36 = 24$ пистоля. Это также соответствует условию задачи.

Оба решения являются верными.

Ответ: Он купил лошадь за 40 пистолей или за 60 пистолей.