Номер 786, страница 273 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 786, страница 273.

Условие.

786. Если между цифрами двузначного числа $x$ вписать это же число, то полученное четырёхзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти $x$.

Решение 4.

Пусть искомое двузначное число $x$ состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда это число можно записать в виде $x = 10a + b$. По условию, $a$ и $b$ — целые числа, причем $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$.

Если между цифрами $a$ и $b$ вписать само число $x$, то получится четырехзначное число. Разберем структуру этого нового числа. Первая цифра $a$ становится цифрой тысяч. За ней следует двузначное число $x$, которое занимает позиции сотен и десятков. Последней цифрой является $b$, которая стоит на месте единиц. Алгебраически новое число, которое мы обозначим $y$, можно представить следующим образом:

$y = a \cdot 1000 + x \cdot 10 + b$

Подставим выражение для $x = 10a + b$ в формулу для $y$:

$y = a \cdot 1000 + (10a + b) \cdot 10 + b$

Упростим это выражение:

$y = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b$

По условию задачи, полученное четырехзначное число $y$ в 66 раз больше первоначального двузначного числа $x$. Составим уравнение:

$y = 66x$

$1100a + 11b = 66 \cdot (10a + b)$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 11:

$100a + b = 6 \cdot (10a + b)$

Раскроем скобки в правой части:

$100a + b = 60a + 6b$

Сгруппируем слагаемые с $a$ в левой части, а с $b$ — в правой:

$100a - 60a = 6b - b$

$40a = 5b$

Разделим обе части на 5, чтобы найти соотношение между $a$ и $b$:

$8a = b$

Теперь необходимо найти цифры $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому равенству и ограничениям ($1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$).

Рассмотрим возможные значения для $a$:

Если $a=1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимые значения для цифр, так как $b=8$ находится в диапазоне от 0 до 9.

Если $a=2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение недопустимо, так как $b$ должна быть однозначной цифрой (не больше 9).

Для любого значения $a$, большего 1, значение $b$ также будет больше 9, что недопустимо.

Таким образом, единственно возможной парой цифр является $a=1$ и $b=8$.

Следовательно, искомое двузначное число $x$ равно:

$x = 10a + b = 10 \cdot 1 + 8 = 18$

Проверим найденное решение. Исходное число 18. Новое число, образованное вставкой 18 между 1 и 8, это 1188. Соотношение нового и старого чисел: $1188 / 18 = 66$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 18.