Номер 782, страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 782, страница 272.

Условие.

782. (Задача ал-Караджи) Найти число, которое от умножения на $3+\sqrt{5}$ даёт 1.

Решение 4.

Пусть искомое число равно $x$. Согласно условию задачи, произведение этого числа на $3 + \sqrt{5}$ должно быть равно 1. Составим уравнение:

$x \cdot (3 + \sqrt{5}) = 1$

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения, разделив обе части на $(3 + \sqrt{5})$:

$x = \frac{1}{3 + \sqrt{5}}$

Полученное выражение содержит иррациональность в знаменателе. Чтобы избавиться от нее, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $(3 + \sqrt{5})$ является $(3 - \sqrt{5})$.

$x = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5}) \cdot (3 - \sqrt{5})}$

В знаменателе дроби мы получили произведение суммы и разности двух чисел, которое равно разности их квадратов, согласно формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + \sqrt{5}) \cdot (3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

Подставим полученное значение в знаменатель нашего выражения для $x$:

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, искомое число найдено.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$