Номер 776, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 776, страница 271.

Условие.

776. 1) $\frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{5} + \sqrt{6}};$

2) $\frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}.$

Решение 4.

1) $\frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{5} + \sqrt{6}}$

Для решения необходимо упростить выражение. Начнем с числителя. Разложим подкоренное выражение числа 78 на множители, чтобы выделить общий множитель с $\sqrt{13}$.

$78 = 6 \times 13$

Следовательно, $\sqrt{78} = \sqrt{6 \times 13} = \sqrt{6}\sqrt{13}$.

Теперь числитель можно преобразовать, вынеся общий множитель $\sqrt{13}$ за скобки:

$\sqrt{78} - \sqrt{13} = \sqrt{6}\sqrt{13} - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{6}-1)$

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

Следующим шагом избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $(\sqrt{6}+\sqrt{5})$ является $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$.

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$

Теперь преобразуем числитель, раскрыв скобки:

$\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = \sqrt{13}( \sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{5}) - 1(\sqrt{6}-\sqrt{5}) ) = \sqrt{13}( (\sqrt{6})^2 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5} ) = \sqrt{13}(6 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5})$

Поскольку знаменатель равен 1, итоговое выражение равно числителю.

Ответ: $\sqrt{13}(6 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5})$

2) $\frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}$

Упростим числитель дроби. Разложим подкоренное выражение числа 99 на множители:

$99 = 9 \times 11$

Тогда $\sqrt{99} = \sqrt{9 \times 11} = 3\sqrt{11}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{3\sqrt{11} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{89} + \sqrt{3})$.

$\frac{(3\sqrt{11} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3})}{(\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3})}$

Вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = (\sqrt{89})^2 - (\sqrt{3})^2 = 89 - 3 = 86$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$(3\sqrt{11} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{89} + 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{89} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{3}$

Перемножим подкоренные выражения:

$= 3\sqrt{11 \cdot 89} + 3\sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{13 \cdot 89} - \sqrt{13 \cdot 3}$

$= 3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}$

Подставим полученные числитель и знаменатель в дробь. Дальнейшее упрощение подкоренных выражений невозможно.

Ответ: $\frac{3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}}{86}$