Страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

769. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист и велосипедист?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_м$ – скорость мотоциклиста (в км/ч).
• $v_в$ – скорость велосипедиста (в км/ч).
• $t$ – время от начала движения до момента встречи (в часах).
• $S_{AC}$ – расстояние от пункта А до места встречи С.
• $S_{CB}$ – расстояние от места встречи С до пункта В.

Мотоциклист проехал расстояние $S_{AC}$ до встречи, а велосипедист – расстояние $S_{CB}$. Так как они двигались до встречи одинаковое время $t$, можно записать:

$S_{AC} = v_м \cdot t$

$S_{CB} = v_в \cdot t$

После встречи мотоциклисту осталось проехать расстояние $S_{CB}$ до пункта В, и он затратил на это 2 часа. Велосипедисту осталось проехать расстояние $S_{AC}$ до пункта А, и он затратил на это 4,5 часа. Таким образом, мы можем записать:

$S_{CB} = v_м \cdot 2$

$S_{AC} = v_в \cdot 4.5$

Теперь у нас есть две пары уравнений для расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$. Приравняем выражения для каждого из расстояний:

Для $S_{AC}$: $v_м \cdot t = v_в \cdot 4.5$

Для $S_{CB}$: $v_в \cdot t = v_м \cdot 2$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{4.5}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{2}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять и правые части:

$\frac{4.5}{t} = \frac{t}{2}$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 = 4.5 \cdot 2$

$t^2 = 9$

$t = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, время, которое они ехали до встречи, составляет 3 часа.

Теперь найдем общее время в пути для каждого из них:

Общее время в пути мотоциклиста = (время до встречи) + (время после встречи) = $3$ ч + $2$ ч = $5$ часов.

Общее время в пути велосипедиста = (время до встречи) + (время после встречи) = $3$ ч + $4.5$ ч = $7.5$ часов.

Ответ: мотоциклист был в пути 5 часов, а велосипедист — 7,5 часов.

770. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,1:

1) $48,3 + \frac{17,83 \cdot 16,94}{8,367}$;

2) $67,8 - \frac{8604 \cdot 48,4}{7651}$;

3) $5,31 \cdot (3,57 \cdot 4,28 - 7,04)$;

4) $1,34 \cdot \left(\frac{8354}{375} + 37,6\right)$.

1) $48,3 + \frac{17,83 \cdot 16,94}{8,367}$

Сначала выполним действия в числителе дроби, а затем деление и сложение, используя калькулятор:

1. Вычислим произведение в числителе: $17,83 \cdot 16,94 = 302,0402$.

2. Разделим результат на знаменатель: $\frac{302,0402}{8,367} \approx 36,099952...$

3. Прибавим к результату 48,3: $48,3 + 36,099952... = 84,399952...$

Теперь необходимо округлить полученное число до десятых (с точностью до 0,1). Для этого смотрим на вторую цифру после запятой. Это 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (3) увеличиваем на 1.

$84,399952... \approx 84,4$

Ответ: 84,4

2) $67,8 - \frac{8604 \cdot 48,4}{7651}$

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Вычислим произведение в числителе: $8604 \cdot 48,4 = 416433,6$.

2. Разделим результат на знаменатель: $\frac{416433,6}{7651} \approx 54,42865...$

3. Вычтем полученный результат из 67,8: $67,8 - 54,42865... = 13,37135...$

Округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (3) увеличиваем на 1.

$13,37135... \approx 13,4$

Ответ: 13,4

3) $5,31 \cdot (3,57 \cdot 4,28 - 7,04)$

Сначала выполним действия в скобках, затем умножение:

1. Выполним умножение в скобках: $3,57 \cdot 4,28 = 15,2856$.

2. Выполним вычитание в скобках: $15,2856 - 7,04 = 8,2456$.

3. Умножим результат на 5,31: $5,31 \cdot 8,2456 = 43,784136$.

Округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (7) увеличиваем на 1.

$43,784136 \approx 43,8$

Ответ: 43,8

4) $1,34 \cdot \left(\frac{8354}{375} + 37,6\right)$

Выполним вычисления по порядку действий, начиная со скобок:

1. Выполним деление в скобках: $\frac{8354}{375} \approx 22,27733...$

2. Выполним сложение в скобках: $22,27733... + 37,6 = 59,87733...$

3. Умножим результат на 1,34: $1,34 \cdot 59,87733... \approx 80,235618...$

Округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятых (2) оставляем без изменений.

$80,235618... \approx 80,2$

Ответ: 80,2

771. Вычислить на калькуляторе приближённо с точностью до 0,01:

1) $34,3^2 - 23,1^2 + 17,8^2$;

2) $7,62^2 + 3,56^2 - 6,98^2$;

3) $\frac{1}{0,54} + \frac{1}{0,32} + \frac{1}{0,87}$;

4) $\frac{1}{0,17} - \frac{1}{0,38} + \frac{1}{0,87}$.

1) Для вычисления выражения $34,3^2 - 23,1^2 + 17,8^2$ сначала возведем каждое число в квадрат, а затем выполним сложение и вычитание.
$34,3^2 = 34,3 \cdot 34,3 = 1176,49$
$23,1^2 = 23,1 \cdot 23,1 = 533,61$
$17,8^2 = 17,8 \cdot 17,8 = 316,84$
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$1176,49 - 533,61 + 316,84 = 642,88 + 316,84 = 959,72$
Результат уже имеет два знака после запятой, поэтому округление не требуется.
Ответ: 959,72

2) Вычислим выражение $7,62^2 + 3,56^2 - 6,98^2$. Аналогично предыдущему пункту, сначала возводим числа в квадрат.
$7,62^2 = 7,62 \cdot 7,62 = 58,0644$
$3,56^2 = 3,56 \cdot 3,56 = 12,6736$
$6,98^2 = 6,98 \cdot 6,98 = 48,7204$
Подставим значения в выражение:
$58,0644 + 12,6736 - 48,7204 = 70,738 - 48,7204 = 22,0176$
Округлим результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 7 (больше или равна 5), то вторую цифру увеличиваем на единицу.
$22,0176 \approx 22,02$
Ответ: 22,02

3) Для вычисления выражения $\frac{1}{0,54} + \frac{1}{0,32} + \frac{1}{0,87}$ сначала найдем значения каждой дроби, а затем сложим их. Для точности будем использовать больше знаков после запятой в промежуточных вычислениях.
$\frac{1}{0,54} \approx 1,85185...$
$\frac{1}{0,32} = 3,125$
$\frac{1}{0,87} \approx 1,14942...$
Теперь сложим полученные значения:
$1,85185... + 3,125 + 1,14942... \approx 6,12627...$
Округлим результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 6, поэтому округляем в большую сторону.
$6,12627... \approx 6,13$
Ответ: 6,13

4) Вычислим выражение $\frac{1}{0,17} - \frac{1}{0,38} + \frac{1}{0,87}$. Выполним действия по порядку.
$\frac{1}{0,17} \approx 5,88235...$
$\frac{1}{0,38} \approx 2,63157...$
$\frac{1}{0,87} \approx 1,14942...$
Подставим значения и выполним вычисления:
$5,88235... - 2,63157... + 1,14942... \approx 3,25078... + 1,14942... \approx 4,4002...$
Округлим результат до сотых. Третья цифра после запятой равна 0, поэтому оставляем вторую цифру без изменений.
$4,4002... \approx 4,40$
Ответ: 4,40

772. Вычислить на калькуляторе приближённо с точностью до 0,01:

1) $27,3 \cdot 1,28 + (43,4 - 39,8) \cdot 2,34$;

2) $(257 - 189) : 2,31 - (354 - 487) : 3,14$.

1) Вычислим значение выражения $27,3 \cdot 1,28 + (43,4 - 39,8) \cdot 2,34$ и округлим результат с точностью до 0,01.
Сначала выполним действия по порядку:
1. Действие в скобках:
$43,4 - 39,8 = 3,6$
2. Теперь выражение имеет вид: $27,3 \cdot 1,28 + 3,6 \cdot 2,34$. Выполним умножения:
$27,3 \cdot 1,28 = 34,944$
$3,6 \cdot 2,34 = 8,424$
3. Выполним сложение:
$34,944 + 8,424 = 43,368$
4. Округлим полученный результат до сотых (до двух знаков после запятой). Смотрим на третью цифру после запятой - это 8. Так как $8 \ge 5$, то вторую цифру после запятой (6) увеличиваем на единицу.
$43,368 \approx 43,37$
Ответ: 43,37

2) Вычислим значение выражения $(257 - 189) : 2,31 - (354 - 487) : 3,14$ и округлим результат с точностью до 0,01.
Сначала выполним действия по порядку:
1. Действия в скобках:
$257 - 189 = 68$
$354 - 487 = -133$
2. Подставим значения в выражение:
$68 : 2,31 - (-133) : 3,14 = 68 : 2,31 + 133 : 3,14$
3. Выполним деление, используя калькулятор:
$68 : 2,31 \approx 29,437229...$
$133 : 3,14 \approx 42,356687...$
4. Выполним сложение:
$29,437229... + 42,356687... \approx 71,793917...$
5. Округлим полученный результат до сотых (до двух знаков после запятой). Смотрим на третью цифру после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, то вторую цифру после запятой (9) оставляем без изменений.
$71,793917... \approx 71,79$
Ответ: 71,79

Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,1 (773—776).

773.

1) $\sqrt{10}+\sqrt{3};$
2) $\sqrt{130}-\sqrt{8};$
3) $31,4+\sqrt{820}-\sqrt{104};$
4) $87,3-\sqrt{563}+\sqrt{231}.$

Для решения данной задачи воспользуемся калькулятором и будем округлять итоговый результат до одной цифры после запятой (до десятых).

Сначала вычислим значение выражения под внешним корнем. Для этого найдем приближенное значение $\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1,73205$
Теперь выполним сложение:
$10 + \sqrt{3} \approx 10 + 1,73205 = 11,73205$
Извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{11,73205} \approx 3,42520...$
Округлим результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой равна 2 (меньше 5), округляем в меньшую сторону.

Ответ: 3,4

Вычислим значения корней, находящихся под внешним корнем.
$\sqrt{130} \approx 11,40175$
$\sqrt{8} \approx 2,82842$
Найдем их разность:
$\sqrt{130} - \sqrt{8} \approx 11,40175 - 2,82842 = 8,57333$
Теперь извлечем квадратный корень из этого значения:
$\sqrt{8,57333} \approx 2,92802...$
Округляем до десятых. Вторая цифра после запятой - 2, поэтому округляем в меньшую сторону.

Ответ: 2,9

Вычислим значение выражения по частям, начиная с самого внутреннего.
$\sqrt{104} \approx 10,19803$
Теперь выполним вычитание под корнем:
$820 - \sqrt{104} \approx 820 - 10,19803 = 809,80197$
Извлечем корень из полученного результата:
$\sqrt{809,80197} \approx 28,45701$
И, наконец, выполним сложение:
$31,4 + 28,45701 = 59,85701...$
Округлим результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой равна 5, округляем в большую сторону.

Ответ: 59,9

Вычислим значение выражения по частям, начиная с самого внутреннего.
$\sqrt{231} \approx 15,19868$
Теперь выполним сложение под корнем:
$563 + \sqrt{231} \approx 563 + 15,19868 = 578,19868$
Извлечем корень из этого числа:
$\sqrt{578,19868} \approx 24,04576$
Наконец, выполним вычитание:
$87,3 - 24,04576 = 63,25424...$
Округлим результат до десятых. Вторая цифра после запятой равна 5, поэтому округляем в большую сторону.

Ответ: 63,3

774. 1) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5}}}$;

2) $\sqrt{30-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$;

3) $\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}$;

4) $\sqrt{2\sqrt{3}+4\sqrt{5}}.$

1)

Для упрощения данного выражения, начнем с самого внутреннего радикала: $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$.

Воспользуемся формулой для упрощения сложных радикалов (формулой извлечения корня из двучлена):

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$

Эта формула применима, если выражение $A^2 - B$ является полным квадратом.

В нашем случае $A = 3$ и $B = 5$. Проверим условие:

$A^2 - B = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 = 2^2$.

Условие выполняется, значит, мы можем применить формулу:

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + 2}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{2 + \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$.

Выражение $\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}$ не упрощается далее стандартными методами, так как оно не соответствует известным формулам для упрощения радикалов. Таким образом, это является конечной упрощенной формой.

Ответ: $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{10} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

2)

Начнем упрощение с внутреннего радикала $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

Используем ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} + \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$.

Здесь $A = 2$ и $B = 3$. Проверим условие:

$A^2 - B = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 = 1^2$.

Условие выполняется. Применяем формулу:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Подставим это выражение в исходное:

$\sqrt{30 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{30 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{60 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}} = \sqrt{\frac{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$.

Дальнейшее упрощение этого выражения стандартными методами невозможно.

Ответ: $\frac{\sqrt{60 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{3 + \sqrt{3}}}$.

Попытаемся упростить внутренний радикал $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$, используя формулу для $\sqrt{A + \sqrt{B}}$.

Здесь $A = 3$ и $B = 3$.

Найдем значение $A^2 - B$:

$A^2 - B = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Поскольку 6 не является полным квадратом рационального числа, радикал $\sqrt{3 + \sqrt{3}}$ не может быть упрощен к виду $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x$ и $y$ — рациональные числа. Следовательно, и все исходное выражение не может быть упрощено стандартными методами.

Ответ: Выражение $\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{3 + \sqrt{3}}}$ не может быть упрощено.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}}$.

Представим подкоренные выражения в виде корней: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$ и $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{\sqrt{12} + \sqrt{80}}$.

Это выражение имеет вид $\sqrt{X + \sqrt{Y}}$, где $X$ само является иррациональным числом: $X = \sqrt{12}$, а $Y = 80$.

Для упрощения такого радикала необходимо, чтобы выражение $X^2 - Y$ было полным квадратом. Проверим это условие:

$X^2 - Y = (\sqrt{12})^2 - 80 = 12 - 80 = -68$.

Так как $X^2 - Y < 0$, данное выражение не может быть представлено в виде суммы или разности более простых действительных радикалов. Таким образом, упрощение невозможно.

Ответ: Выражение $\sqrt{2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}}$ не может быть упрощено.

775. 1) $\sqrt{14,2^2 + 89,3^2}$;

2) $\sqrt{30,2^2 - 4,73^2}$;

3) $\frac{123}{\sqrt{11}} - \frac{251}{\sqrt{13}}$;

4) $\frac{426}{\sqrt{5}} - \frac{43}{\sqrt{3}}$.

1) Вычислим значение выражения $\sqrt{14,2^2 + 89,3^2}$ и округлим результат до сотых.
Сначала выполним действия под знаком корня:
$14,2^2 = 201,64$
$89,3^2 = 7974,49$
$14,2^2 + 89,3^2 = 201,64 + 7974,49 = 8176,13$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{8176,13} \approx 90,421955...$
Округляя до сотых, получаем $90,42$.

Ответ: $90,42$.

2) Вычислим значение выражения $\sqrt{30,2^2 - 4,73^2}$ и округлим результат до сотых.
Выполним действия под знаком корня. Можно было бы применить формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, но мы выполним вычисления напрямую.
$30,2^2 = 912,04$
$4,73^2 = 22,3729$
$30,2^2 - 4,73^2 = 912,04 - 22,3729 = 889,6671$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{889,6671} \approx 29,827288...$
Округляя до сотых, получаем $29,83$.

Ответ: $29,83$.

3) Вычислим значение выражения $\frac{123}{\sqrt{11}} - \frac{251}{\sqrt{13}}$ и округлим результат до сотых.
Сначала найдем приближенные значения для каждого члена выражения:
$\frac{123}{\sqrt{11}} \approx \frac{123}{3,31662479...} \approx 37,08558...$
$\frac{251}{\sqrt{13}} \approx \frac{251}{3,60555127...} \approx 69,61338...$
Теперь найдем их разность:
$37,08558... - 69,61338... = -32,5278...$
Округляя до сотых, получаем $-32,53$.

Ответ: $-32,53$.

4) Вычислим значение выражения $\frac{426}{\sqrt{5}} - \frac{43}{\sqrt{3}}$ и округлим результат до сотых.
Найдем приближенные значения для уменьшаемого и вычитаемого:
$\frac{426}{\sqrt{5}} \approx \frac{426}{2,23606797...} \approx 190,51263...$
$\frac{43}{\sqrt{3}} \approx \frac{43}{1,73205081...} \approx 24,82599...$
Теперь найдем их разность:
$190,51263... - 24,82599... = 165,68664...$
Округляя до сотых, получаем $165,69$.

Ответ: $165,69$.

776. 1) $\frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{5} + \sqrt{6}};$

2) $\frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}.$

1) $\frac{\sqrt{78} - \sqrt{13}}{\sqrt{5} + \sqrt{6}}$

Для решения необходимо упростить выражение. Начнем с числителя. Разложим подкоренное выражение числа 78 на множители, чтобы выделить общий множитель с $\sqrt{13}$.

$78 = 6 \times 13$

Следовательно, $\sqrt{78} = \sqrt{6 \times 13} = \sqrt{6}\sqrt{13}$.

Теперь числитель можно преобразовать, вынеся общий множитель $\sqrt{13}$ за скобки:

$\sqrt{78} - \sqrt{13} = \sqrt{6}\sqrt{13} - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{6}-1)$

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

Следующим шагом избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $(\sqrt{6}+\sqrt{5})$ является $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$.

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$

Теперь преобразуем числитель, раскрыв скобки:

$\sqrt{13}(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = \sqrt{13}( \sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{5}) - 1(\sqrt{6}-\sqrt{5}) ) = \sqrt{13}( (\sqrt{6})^2 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5} ) = \sqrt{13}(6 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5})$

Поскольку знаменатель равен 1, итоговое выражение равно числителю.

Ответ: $\sqrt{13}(6 - \sqrt{30} - \sqrt{6} + \sqrt{5})$

2) $\frac{\sqrt{99} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}$

Упростим числитель дроби. Разложим подкоренное выражение числа 99 на множители:

$99 = 9 \times 11$

Тогда $\sqrt{99} = \sqrt{9 \times 11} = 3\sqrt{11}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{3\sqrt{11} - \sqrt{13}}{\sqrt{89} - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{89} + \sqrt{3})$.

$\frac{(3\sqrt{11} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3})}{(\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3})}$

Вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{89} - \sqrt{3})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = (\sqrt{89})^2 - (\sqrt{3})^2 = 89 - 3 = 86$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$(3\sqrt{11} - \sqrt{13})(\sqrt{89} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{89} + 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{89} - \sqrt{13} \cdot \sqrt{3}$

Перемножим подкоренные выражения:

$= 3\sqrt{11 \cdot 89} + 3\sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{13 \cdot 89} - \sqrt{13 \cdot 3}$

$= 3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}$

Подставим полученные числитель и знаменатель в дробь. Дальнейшее упрощение подкоренных выражений невозможно.

Ответ: $\frac{3\sqrt{979} + 3\sqrt{33} - \sqrt{1157} - \sqrt{39}}{86}$