Страница 266 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

729. Одна сторона прямоугольника больше другой на 3 см. Какой может быть длина меньшей стороны прямоугольника, если периметр его больше 14 см, но меньше 18 см?

Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника через $x$ см. Согласно условию, одна сторона больше другой на 3 см, следовательно, длина большей стороны равна $(x + 3)$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его соседних сторон. Подставим выражения для сторон в формулу периметра:
$P = 2(x + (x + 3)) = 2(2x + 3) = 4x + 6$

Из условия задачи известно, что периметр больше 14 см, но меньше 18 см. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$14 < P < 18$

Подставим в это неравенство полученное выражение для периметра $P$:
$14 < 4x + 6 < 18$

Чтобы найти возможные значения для $x$, решим это неравенство. Сначала вычтем 6 из всех трех частей неравенства:
$14 - 6 < 4x + 6 - 6 < 18 - 6$
$8 < 4x < 12$

Теперь разделим все части неравенства на 4:
$\frac{8}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{12}{4}$
$2 < x < 3$

Таким образом, мы выяснили, что длина меньшей стороны прямоугольника $x$ должна быть строго больше 2 см и строго меньше 3 см.

Ответ: длина меньшей стороны прямоугольника может быть любым числом, которое больше 2 см, но меньше 3 см.

730. За 1 ч улитка проползла меньше 5 м, а за следующие 45 мин, двигаясь с той же скоростью, не менее 3 м. Какова скорость улитки?

Обозначим скорость улитки, которая является постоянной величиной, через $v$. Выразим скорость в метрах в час (м/ч).

Согласно первому условию, за 1 час ($t_1 = 1$ ч) улитка проползла расстояние $s_1$, которое меньше 5 м. Расстояние вычисляется по формуле $s = v \cdot t$. Таким образом, получаем первое неравенство:

$s_1 = v \cdot 1 < 5$

$v < 5$

Согласно второму условию, за следующие 45 минут улитка проползла расстояние $s_2$, которое не менее 3 м. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:

$t_2 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

Теперь составим второе неравенство, используя то же значение скорости $v$:

$s_2 = v \cdot \frac{3}{4} \ge 3$

Решим это неравенство относительно $v$, умножив обе части на $\frac{4}{3}$:

$v \ge 3 \cdot \frac{4}{3}$

$v \ge 4$

Теперь у нас есть система из двух неравенств для скорости улитки $v$:

$\begin{cases} v < 5 \\ v \ge 4 \end{cases}$

Объединяя эти два условия, мы получаем, что скорость улитки больше или равна 4 м/ч, но строго меньше 5 м/ч. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$4 \le v < 5$

Ответ: Скорость улитки не менее 4 м/ч, но меньше 5 м/ч.

731. Если часы в Варшаве (первый часовой пояс) показывают время между 10 и 11 часами, то какое время показывают в этот момент часы во Владивостоке (девятый часовой пояс)?

Для решения этой задачи необходимо определить разницу во времени между Варшавой и Владивостоком. Варшава находится в первом часовом поясе, а Владивосток — в девятом.

Разница в часовых поясах вычисляется как разность их номеров:
$9 - 1 = 8$ часов.

Поскольку номер часового пояса Владивостока больше, чем у Варшавы, время во Владивостоке опережает время в Варшаве. Следовательно, чтобы узнать время во Владивостоке, нужно к времени в Варшаве прибавить 8 часов.

В условии сказано, что в Варшаве время между 10 и 11 часами. Рассчитаем соответствующий временной интервал для Владивостока:
1. Нижняя граница интервала: $10 \text{ часов} + 8 \text{ часов} = 18 \text{ часов}$.
2. Верхняя граница интервала: $11 \text{ часов} + 8 \text{ часов} = 19 \text{ часов}$.

Таким образом, в тот момент, когда в Варшаве от 10 до 11 часов, во Владивостоке будет от 18 до 19 часов.

Ответ: между 18 и 19 часами.

732. Решить неравенство:

1) $|2x+3| \le 7;$

2) $|5-3x| > 4.$

1)

Дано неравенство $|2x+3| \le 7$.
Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ (где $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Применим это правило:

$-7 \le 2x+3 \le 7$

Для решения этого двойного неравенства необходимо "изолировать" переменную $x$ в центре. Сначала вычтем $3$ из всех трех частей неравенства:

$-7 - 3 \le 2x + 3 - 3 \le 7 - 3$

$-10 \le 2x \le 4$

Теперь разделим все части неравенства на $2$. Так как мы делим на положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-10}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$

$-5 \le x \le 2$

Это означает, что решением являются все числа $x$ из промежутка от $-5$ до $2$, включая концы.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.

2)

Дано неравенство $|5-3x| > 4$.
Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
Применим это правило:

$5-3x > 4$ или $5-3x < -4$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$5-3x > 4$
Перенесем $5$ в правую часть, изменив знак:
$-3x > 4 - 5$
$-3x > -1$
Разделим обе части на $-3$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-1}{-3}$
$x < \frac{1}{3}$

Второе неравенство:
$5-3x < -4$
Перенесем $5$ в правую часть:
$-3x < -4 - 5$
$-3x < -9$
Снова разделим обе части на $-3$ и поменяем знак неравенства:
$x > \frac{-9}{-3}$
$x > 3$

Решением исходного неравенства является объединение решений двух полученных неравенств.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty)$.

733. Упростить выражение:

1) $a\sqrt{4a} - 2a^2\sqrt{\frac{1}{a}} + \frac{1}{3}a\sqrt{25a}$, где $a > 0$;

2) $\sqrt{a^3b^5} - 6ab\sqrt{ab^3} + 0.4b^2\sqrt{a^3b}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

1) Упростим выражение $a\sqrt{4a} - 2a^2\sqrt{\frac{1}{a}} + \frac{1}{3}a\sqrt{25a}$, где $a > 0$.

Для этого преобразуем каждый член выражения, вынося множители из-под знака корня, чтобы привести их к общему виду.

Первый член: $a\sqrt{4a} = a\sqrt{4 \cdot a} = a \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} = a \cdot 2\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}$.

Второй член: $-2a^2\sqrt{\frac{1}{a}}$. Так как по условию $a > 0$, мы можем внести множитель $a^2$ под знак корня как $a^4$. $-2a^2\sqrt{\frac{1}{a}} = -2\sqrt{\frac{a^4}{a}} = -2\sqrt{a^3} = -2\sqrt{a^2 \cdot a} = -2a\sqrt{a}$.

Третий член: $\frac{1}{3}a\sqrt{25a} = \frac{1}{3}a\sqrt{25 \cdot a} = \frac{1}{3}a \cdot \sqrt{25}\sqrt{a} = \frac{1}{3}a \cdot 5\sqrt{a} = \frac{5}{3}a\sqrt{a}$.

Теперь сложим полученные выражения. Все они содержат общий множитель $a\sqrt{a}$. $2a\sqrt{a} - 2a\sqrt{a} + \frac{5}{3}a\sqrt{a} = (2 - 2 + \frac{5}{3})a\sqrt{a} = \frac{5}{3}a\sqrt{a}$.

Ответ: $\frac{5}{3}a\sqrt{a}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{a^3b^5} - 6ab\sqrt{ab^3} + 0,4b^2\sqrt{a^3b}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.

Аналогично первому пункту, упростим каждый член, вынося из-под корня множители со степенями, кратными двум.

Первый член: $\sqrt{a^3b^5} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot b^4 \cdot b}$. Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a^2}=a$ и $\sqrt{b^4}=b^2$. Получаем $a b^2 \sqrt{ab}$.

Второй член: $-6ab\sqrt{ab^3} = -6ab\sqrt{a \cdot b^2 \cdot b}$. Поскольку $b \ge 0$, то $\sqrt{b^2}=b$. Получаем $-6ab \cdot b \sqrt{ab} = -6ab^2\sqrt{ab}$.

Третий член: $0,4b^2\sqrt{a^3b} = 0,4b^2\sqrt{a^2 \cdot a \cdot b}$. Поскольку $a \ge 0$, то $\sqrt{a^2}=a$. Получаем $0,4b^2 \cdot a \sqrt{ab} = 0,4ab^2\sqrt{ab}$.

Теперь сложим преобразованные члены. Общим множителем для них является $ab^2\sqrt{ab}$. $ab^2\sqrt{ab} - 6ab^2\sqrt{ab} + 0,4ab^2\sqrt{ab} = (1 - 6 + 0,4)ab^2\sqrt{ab} = -4,6ab^2\sqrt{ab}$.

Ответ: $-4,6ab^2\sqrt{ab}$.

734. Вычислить:

1) $(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2;$

2) $(\sqrt{13+5\sqrt{4,2}} + \sqrt{13-5\sqrt{4,2}})^2;$

3) $\sqrt{\frac{25^2-24^2}{21,5^2-14,5^2}};$

4) $\sqrt{\frac{23^2-22^2}{13^2-12^2}}.$

1) Для вычисления этого выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{3+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{3-\sqrt{5}}$. Тогда:
$a^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5}$
$b^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5}$
$2ab = 2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}} = 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
Внутри корня находится разность квадратов: $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, $2ab = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь сложим все части:
$(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = (3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) + 4 = 3 + 3 + 4 = 10$.
Ответ: 10

2) Решим аналогично первому пункту, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{13+5\sqrt{4,2}}$ и $b = \sqrt{13-5\sqrt{4,2}}$.
$a^2 = (\sqrt{13+5\sqrt{4,2}})^2 = 13+5\sqrt{4,2}$
$b^2 = (\sqrt{13-5\sqrt{4,2}})^2 = 13-5\sqrt{4,2}$
$2ab = 2\sqrt{(13+5\sqrt{4,2})(13-5\sqrt{4,2})}$
Под корнем используем формулу разности квадратов: $13^2 - (5\sqrt{4,2})^2 = 169 - 5^2 \cdot (\sqrt{4,2})^2 = 169 - 25 \cdot 4,2 = 169 - 105 = 64$.
Тогда $2ab = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16$.
Складываем полученные значения:
$(13+5\sqrt{4,2}) + (13-5\sqrt{4,2}) + 16 = 13 + 13 + 16 = 26 + 16 = 42$.
Ответ: 42

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.
Исходное выражение: $\frac{\sqrt{25^2-24^2}}{21,5^2-14,5^2}$
Вычислим числитель:
$\sqrt{25^2-24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$.
Вычислим знаменатель:
$21,5^2-14,5^2 = (21,5-14,5)(21,5+14,5) = 7 \cdot 36 = 252$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{7}{252} = \frac{7}{7 \cdot 36} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

4) Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $\frac{23^2 - 22^2}{\sqrt{13^2 - 12^2}}$
Вычислим числитель:
$23^2 - 22^2 = (23-22)(23+22) = 1 \cdot 45 = 45$.
Вычислим знаменатель:
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{(13-12)(13+12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{45}{5} = 9$.
Ответ: 9

735. Упростить выражение:

1) $\left(\frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}\right);$

2) $\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}\right) : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}};$

3) $\left(\frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1\right);$

4) $\left(\frac{a+1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}} - \frac{a}{1+\sqrt{a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1}.$

1) $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a}-1} - \sqrt{a+1} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} \right) $

Примечание: В исходном выражении, скорее всего, допущена опечатка. Если предположить, что в знаменателях вместо $\sqrt{a}-1$ должно быть $\sqrt{a-1}$, то выражение значительно упрощается и решение становится стандартным для такого типа задач. Решим задачу с этим предположением.

Исправленное выражение: $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} \right) $

Область допустимых значений (ОДЗ): $a-1 > 0$ и $a+1 > 0$, что дает $a > 1$.

1. Упростим выражение в первой скобке. Для этого вынесем общий множитель $\sqrt{a+1}$ за скобку:

$ \frac{a+1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} = \frac{(\sqrt{a+1})^2}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} = \sqrt{a+1} \left( \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - 1 \right) = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} $

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}} $

3. Выполним деление полученных выражений:

$ \left( \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \right) : \left( \frac{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}} \right) = $

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1} - \sqrt{a+1}} $

Заметим, что $ \sqrt{a-1} - \sqrt{a+1} = -(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}) $. Подставим это в выражение:

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1}\sqrt{a-1}}{-(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})} $

Сокращаем общие множители $\sqrt{a-1}$ и $(\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})$:

$ = \sqrt{a+1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{\sqrt{a+1}}{-1} = -\sqrt{a+1} \cdot \sqrt{a+1} = -(a+1) $

Ответ: $-(a+1)$

2) $ \left( \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}} \right) : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}-1} $

ОДЗ: $a \ge 0$, $a \ne 1$.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+\sqrt{a+1})(\sqrt{a}-\sqrt{a+1})$.

Знаменатель: $ (\sqrt{a}+\sqrt{a+1})(\sqrt{a}-\sqrt{a+1}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a+1})^2 = a - (a+1) = -1 $

Числитель: $ (\sqrt{a}-\sqrt{a+1}) - (\sqrt{a}+\sqrt{a+1}) = \sqrt{a}-\sqrt{a+1} - \sqrt{a}-\sqrt{a+1} = -2\sqrt{a+1} $

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{-2\sqrt{a+1}}{-1} = 2\sqrt{a+1} $

2. Выполним деление:

$ 2\sqrt{a+1} : \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a}-1} = 2\sqrt{a+1} \cdot \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a+1}} $

Сокращаем на $\sqrt{a+1}$ (который не равен нулю в ОДЗ):

$ = 2(\sqrt{a}-1) $

Ответ: $2(\sqrt{a}-1)$

3) $ \left( \frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 \right) $

ОДЗ: $1-a > 0$, $1+a \ge 0$, $1-a^2 > 0$ и делитель не равен нулю $ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 \ne 0 $.

Из этих условий получаем: $a < 1$, $a \ge -1$, $-1 < a < 1$ и $a \ne 0$. Итоговая ОДЗ: $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$ \frac{1}{\sqrt{1-a}} - \sqrt{1+a} = \frac{1 - \sqrt{1+a}\sqrt{1-a}}{\sqrt{1-a}} = \frac{1 - \sqrt{(1+a)(1-a)}}{\sqrt{1-a}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} $

2. Упростим выражение во второй скобке:

$ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - 1 = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}} $

3. Выполним деление:

$ \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} : \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a^2}} = \frac{1 - \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} \cdot \frac{\sqrt{1-a^2}}{1 - \sqrt{1-a^2}} $

Сокращаем на $(1 - \sqrt{1-a^2})$ (не равен нулю в ОДЗ):

$ = \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1-a}} = \frac{\sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{1-a}} = \sqrt{\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}} = \sqrt{1+a} $

Ответ: $\sqrt{1+a}$

4) $ \left( \frac{a+1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}} - \frac{a}{1+\sqrt{a}} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1} $

ОДЗ: $a > 0$ и $a \ne 1$.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $a-\sqrt{a}$ на множители: $a-\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)$.

Общий знаменатель для дробей в скобках: $\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)(1+\sqrt{a}) = \sqrt{a}(a-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(a+1)(\sqrt{a}-1)(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} + \frac{1(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} - \frac{a\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{(a+1)(a-1) + (1+\sqrt{a}) - a\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{(a^2-1) + (1+\sqrt{a}) - (a^2-a\sqrt{a})}{\sqrt{a}(a-1)} = $

$ = \frac{a^2-1+1+\sqrt{a}-a^2+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{\sqrt{a}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{\sqrt{a}(1+a)}{\sqrt{a}(a-1)} = \frac{a+1}{a-1} $

2. Упростим второй множитель:

$ \frac{\sqrt{3}-a\sqrt{3}}{a+1} = \frac{\sqrt{3}(1-a)}{a+1} = \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1} $

3. Выполним умножение:

$ \frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{-\sqrt{3}(a-1)}{a+1} $

Сокращаем $(a+1)$ и $(a-1)$ (не равны нулю в ОДЗ):

$ = -\sqrt{3} $

Ответ: $-\sqrt{3}$