Номер 734, страница 266 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 734, страница 266.

Условие.

734. Вычислить:

1) $(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2;$

2) $(\sqrt{13+5\sqrt{4,2}} + \sqrt{13-5\sqrt{4,2}})^2;$

3) $\sqrt{\frac{25^2-24^2}{21,5^2-14,5^2}};$

4) $\sqrt{\frac{23^2-22^2}{13^2-12^2}}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления этого выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{3+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{3-\sqrt{5}}$. Тогда:
$a^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5}$
$b^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3-\sqrt{5}$
$2ab = 2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}} = 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
Внутри корня находится разность квадратов: $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, $2ab = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.
Теперь сложим все части:
$(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = (3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) + 4 = 3 + 3 + 4 = 10$.
Ответ: 10

2) Решим аналогично первому пункту, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = \sqrt{13+5\sqrt{4,2}}$ и $b = \sqrt{13-5\sqrt{4,2}}$.
$a^2 = (\sqrt{13+5\sqrt{4,2}})^2 = 13+5\sqrt{4,2}$
$b^2 = (\sqrt{13-5\sqrt{4,2}})^2 = 13-5\sqrt{4,2}$
$2ab = 2\sqrt{(13+5\sqrt{4,2})(13-5\sqrt{4,2})}$
Под корнем используем формулу разности квадратов: $13^2 - (5\sqrt{4,2})^2 = 169 - 5^2 \cdot (\sqrt{4,2})^2 = 169 - 25 \cdot 4,2 = 169 - 105 = 64$.
Тогда $2ab = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16$.
Складываем полученные значения:
$(13+5\sqrt{4,2}) + (13-5\sqrt{4,2}) + 16 = 13 + 13 + 16 = 26 + 16 = 42$.
Ответ: 42

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.
Исходное выражение: $\frac{\sqrt{25^2-24^2}}{21,5^2-14,5^2}$
Вычислим числитель:
$\sqrt{25^2-24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$.
Вычислим знаменатель:
$21,5^2-14,5^2 = (21,5-14,5)(21,5+14,5) = 7 \cdot 36 = 252$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{7}{252} = \frac{7}{7 \cdot 36} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

4) Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $\frac{23^2 - 22^2}{\sqrt{13^2 - 12^2}}$
Вычислим числитель:
$23^2 - 22^2 = (23-22)(23+22) = 1 \cdot 45 = 45$.
Вычислим знаменатель:
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{(13-12)(13+12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{45}{5} = 9$.
Ответ: 9