Номер 741, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 741, страница 267.

Условие.

741. Упростить выражение:

1) $\frac{2x^2 + x}{2x - 9} \cdot \left( \frac{8x}{4x^2 - 1} + \frac{9}{2x^2 - 11x + 5} + \frac{9}{5 + 9x - 2x^2} \right) - \frac{10}{x - 5};$

2) $\frac{2y + 13}{2y - 5} : \left( \frac{2y}{2y^2 + 3y - 20} + \frac{8}{y^2 - 16} - \frac{3}{2y^2 - 13y + 20} \right).$

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим выражение $\frac{2x^2 + x}{2x - 9} \cdot \left( \frac{8x}{4x^2 - 1} + \frac{9}{2x^2 - 11x + 5} + \frac{9}{5 + 9x - 2x^2} \right) - \frac{10}{x - 5}$.

Сначала упростим выражение в скобках, выполнив действия с дробями. Для этого разложим знаменатели на множители.

1. Знаменатель первой дроби: $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$ (применяем формулу разности квадратов).

2. Знаменатель второй дроби: $2x^2 - 11x + 5$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $2x^2 - 11x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{4} = 5$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $2x^2 - 11x + 5 = 2(x - 5)(x - \frac{1}{2}) = (2x - 1)(x - 5)$.

3. Знаменатель третьей дроби: $5 + 9x - 2x^2 = -(2x^2 - 9x - 5)$. Найдем корни $2x^2 - 9x - 5 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{9 + 11}{4} = 5$; $x_2 = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, $-(2x^2 - 9x - 5) = -2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) = -(2x + 1)(x - 5)$.

Теперь подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках:
$\frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} + \frac{9}{(2x - 1)(x - 5)} + \frac{9}{-(2x + 1)(x - 5)} = \frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} + \frac{9}{(2x - 1)(x - 5)} - \frac{9}{(2x + 1)(x - 5)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 1)(2x + 1)(x - 5)$:
$\frac{8x(x - 5) + 9(2x + 1) - 9(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)(x - 5)} = \frac{8x^2 - 40x + 18x + 9 - 18x + 9}{(2x - 1)(2x + 1)(x - 5)} = \frac{8x^2 - 40x + 18}{(2x - 1)(2x + 1)(x - 5)}$.

Разложим числитель $8x^2 - 40x + 18 = 2(4x^2 - 20x + 9)$ на множители. Найдем корни $4x^2 - 20x + 9=0$.
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{20 + 16}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$; $x_2 = \frac{20 - 16}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Значит, $2(4x^2 - 20x + 9) = 2 \cdot 4(x - \frac{9}{2})(x - \frac{1}{2}) = 2(2x - 9)(2x - 1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:
$\frac{2(2x - 9)(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)(x - 5)} = \frac{2(2x - 9)}{(2x + 1)(x - 5)}$.

Теперь выполним умножение. Разложим на множители числитель первого множителя: $2x^2 + x = x(2x + 1)$.
$\frac{x(2x + 1)}{2x - 9} \cdot \frac{2(2x - 9)}{(2x + 1)(x - 5)}$.
Сокращаем общие множители $(2x + 1)$ и $(2x - 9)$:
$\frac{x}{1} \cdot \frac{2}{x - 5} = \frac{2x}{x - 5}$.

Наконец, выполним вычитание:
$\frac{2x}{x - 5} - \frac{10}{x - 5} = \frac{2x - 10}{x - 5} = \frac{2(x - 5)}{x - 5} = 2$.

Ответ: $2$

---

2) Упростим выражение $\frac{2y + 13}{2y - 5} : \left( \frac{2y}{2y^2 + 3y - 20} + \frac{8}{y^2 - 16} - \frac{3}{2y^2 - 13y + 20} \right)$.

Сначала упростим выражение в скобках, разложив знаменатели на множители.

1. $2y^2 + 3y - 20$. Корни уравнения $2y^2 + 3y - 20 = 0$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
$y_1 = \frac{-3 + 13}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$; $y_2 = \frac{-3 - 13}{4} = -4$.
Следовательно, $2y^2 + 3y - 20 = 2(y - \frac{5}{2})(y + 4) = (2y - 5)(y + 4)$.

2. $y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)$ (разность квадратов).

3. $2y^2 - 13y + 20$. Корни уравнения $2y^2 - 13y + 20 = 0$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.
$y_1 = \frac{13 + 3}{4} = 4$; $y_2 = \frac{13 - 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
Следовательно, $2y^2 - 13y + 20 = 2(y - 4)(y - \frac{5}{2}) = (y - 4)(2y - 5)$.

Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках:
$\frac{2y}{(2y - 5)(y + 4)} + \frac{8}{(y - 4)(y + 4)} - \frac{3}{(y - 4)(2y - 5)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2y - 5)(y + 4)(y - 4)$:
$\frac{2y(y - 4) + 8(2y - 5) - 3(y + 4)}{(2y - 5)(y + 4)(y - 4)} = \frac{2y^2 - 8y + 16y - 40 - 3y - 12}{(2y - 5)(y + 4)(y - 4)} = \frac{2y^2 + 5y - 52}{(2y - 5)(y^2 - 16)}$.

Разложим числитель $2y^2 + 5y - 52$ на множители. Найдем корни $2y^2 + 5y - 52 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-52) = 25 + 416 = 441 = 21^2$.
$y_1 = \frac{-5 + 21}{4} = 4$; $y_2 = \frac{-5 - 21}{4} = -\frac{13}{2}$.
$2y^2 + 5y - 52 = 2(y - 4)(y + \frac{13}{2}) = (y - 4)(2y + 13)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:
$\frac{(y - 4)(2y + 13)}{(2y - 5)(y + 4)(y - 4)} = \frac{2y + 13}{(2y - 5)(y + 4)}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2y + 13}{2y - 5} : \frac{2y + 13}{(2y - 5)(y + 4)} = \frac{2y + 13}{2y - 5} \cdot \frac{(2y - 5)(y + 4)}{2y + 13}$.

Сократив общие множители $(2y+13)$ и $(2y-5)$, получаем:
$y + 4$.

Ответ: $y + 4$