Номер 748, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 748, страница 268.

Условие.

748. В техникуме для проведения вступительного экзамена было заготовлено 750 листов бумаги. Но так как поступающих оказалось на 45 человек больше, чем предполагалось, то, хотя и добавили ещё 30 листов, каждый получил на один лист меньше. Сколько листов было заготовлено на каждого поступающего первоначально?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначально предполагавшееся количество поступающих, а $y$ — количество листов бумаги, которое планировалось выделить на каждого из них.

По условию, всего было заготовлено 750 листов бумаги. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x \cdot y = 750$

Далее, из условия известно, что количество поступающих оказалось на 45 человек больше, то есть их стало $x + 45$.

Общее количество листов бумаги также изменилось: к исходным 750 добавили еще 30, и всего стало $750 + 30 = 780$ листов.

При этом каждый поступающий получил на один лист меньше, чем планировалось, то есть $y - 1$.

На основе этих данных составим второе уравнение, описывающее фактическое распределение бумаги:

$(x + 45)(y - 1) = 780$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x \cdot y = 750 \\ (x + 45)(y - 1) = 780 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{750}{y}$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(\frac{750}{y} + 45)(y - 1) = 780$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{750}{y} \cdot y - \frac{750}{y} \cdot 1 + 45 \cdot y - 45 \cdot 1 = 780$

$750 - \frac{750}{y} + 45y - 45 = 780$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$705 - \frac{750}{y} + 45y = 780$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$45y - \frac{750}{y} + 705 - 780 = 0$

$45y - \frac{750}{y} - 75 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что очевидно, так как это количество листов):

$45y^2 - 750 - 75y = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

$45y^2 - 75y - 750 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты делятся на 15. Разделим обе части уравнения на 15 для упрощения:

$3y^2 - 5y - 50 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-50) = 25 + 600 = 625$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 25}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 25}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Поскольку $y$ представляет собой количество листов бумаги, это значение не может быть отрицательным. Таким образом, единственным решением, имеющим смысл в контексте задачи, является $y = 5$.

Это означает, что первоначально на каждого поступающего было заготовлено 5 листов бумаги.

Проверка:
1. Первоначальное количество поступающих: $x = 750 / y = 750 / 5 = 150$ человек.
2. Фактическое количество поступающих: $150 + 45 = 195$ человек.
3. Фактическое количество листов: $750 + 30 = 780$ листов.
4. Количество листов на одного человека по факту: $780 / 195 = 4$ листа.
5. Разница в количестве листов: $5 - 4 = 1$ лист.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 5 листов.