Номер 752, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 752, страница 269.

Условие.

752. 1) $\left(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}\right) : \left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)$;

2) $\left(\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a}\right) \cdot \left(1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2}\right)$;

3) $\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)^2 - \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)^2$.

Решение 1.

Решение 4.

1)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}) : (\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2})$.

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель для этих дробей будет $(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4-b^4$:

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 + (a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \frac{(a^4+2a^2b^2+b^4) + (a^4-2a^2b^2+b^4)}{a^4-b^4} = \frac{2a^4+2b^4}{a^4-b^4} = \frac{2(a^4+b^4)}{a^4-b^4}$.

Выполним деление полученных выражений, заменив деление на умножение обратной дроби:

$\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} : \frac{2(a^4+b^4)}{a^4-b^4} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^4-b^4}{2(a^4+b^4)} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{2(a^4+b^4)}$.

Сокращаем общие множители $2$ и $(a^2-b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{2}(a^2+b^2)}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-b^2)}(a^2+b^2)}{\cancel{2}(a^4+b^4)} = \frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{a^4+b^4} = \frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$.

Ответ: $\frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$

2)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a}) \cdot (1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2})$.

Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $2b(4b-a)$:

$\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a} = \frac{(a+4b)(4b-a) - 6b \cdot 2b}{2b(4b-a)} = \frac{(4ab-a^2+16b^2-4ab) - 12b^2}{2b(4b-a)} = \frac{16b^2-a^2 - 12b^2}{2b(4b-a)} = \frac{4b^2-a^2}{2b(4b-a)}$.

Упростим выражение во второй скобке, приведя $1$ к дроби со знаменателем $a^2-4b^2$:

$1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2}{a^2-4b^2} - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{(a^2-4b^2) - (a^2-2ab+4b^2)}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2-a^2+2ab-4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{2ab-8b^2}{a^2-4b^2} = \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}$.

Теперь перемножим полученные выражения. Для удобства преобразуем $4b^2-a^2 = -(a^2-4b^2)$ и $4b-a = -(a-4b)$:

$(\frac{4b^2-a^2}{2b(4b-a)}) \cdot (\frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}) = \frac{-(a^2-4b^2)}{2b(-(a-4b))} \cdot \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2}{2b(a-4b)} \cdot \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}$.

Сокращаем все общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2-4b^2}}{\cancel{2b}(\cancel{a-4b})} \cdot \frac{\cancel{2b}(\cancel{a-4b})}{\cancel{a^2-4b^2}} = 1$.

Ответ: $1$

3)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2 - (\frac{2ab}{a^2-b^2})^2$.

Так как знаменатели у дробей под квадратами одинаковы, можно объединить их под один знаменатель, предварительно возведя в квадрат:

$(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2 - (\frac{2ab}{a^2-b^2})^2 = \frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2} - \frac{(2ab)^2}{(a^2-b^2)^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2}{(a^2-b^2)^2}$.

Упростим числитель. Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения:

$(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$.

Свернем полученный числитель по формуле квадрата разности:

$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2-b^2)^2$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2} = 1$.

Ответ: $1$