Номер 755, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 755, страница 269.

Условие.

755. Найти действительные корни уравнения:

1) $x^2 - |x| - 2 = 0;$

2) $x^2 - 4|x| + 3 = 0;$

3) $|x^2 - x| = 2;$

4) $|x^2 + x| = 1;$

5) $|x^2 - 2| = 2;$

6) $|x^2 - 26| = 10.$

Решение 4.

1) $x^2 - |x| - 2 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение следующим образом: $|x|^2 - |x| - 2 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$: $y^2 - y - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 2$. Корень $y_2 = -1$ является посторонним.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $|x| = 2$.

Из этого уравнения получаем два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

2) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$

Используем свойство $x^2 = |x|^2$ и перепишем уравнение: $|x|^2 - 4|x| + 3 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $y^2 - 4y + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$. Получаем два случая:

a) $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

b) $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.

3) $|x^2 - x| = 2$

Уравнение вида $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

Следовательно, мы должны решить два уравнения:

a) $x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

b) $x^2 - x = -2 \implies x^2 - x + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Объединяя решения, получаем два корня исходного уравнения.

Ответ: $-1; 2$.

4) $|x^2 + x| = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 + x = 1 \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

b) $x^2 + x = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

5) $|x^2 - 2| = 2$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 - 2 = 2 \implies x^2 = 4$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

b) $x^2 - 2 = -2 \implies x^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень: $x_3 = 0$.

Всего у уравнения три действительных корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

6) $|x^2 - 26| = 10$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 - 26 = 10 \implies x^2 = 36$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

b) $x^2 - 26 = -10 \implies x^2 = 16$.

Корни этого уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-6; -4; 4; 6$.