Номер 758, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 758, страница 269.

Условие.

758. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$. Составить квадратное уравнение с корнями $x_1^4$ и $x_2^4$, не решая данное.

Решение 4.

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, сумма и произведение его корней равны:

$x_1+x_2 = -b/a$

$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Для исходного уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$ имеем коэффициенты $a=1, b=-5, c=3$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1+x_2 = -(-5)/1 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 3/1 = 3$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут $y_1=x_1^4$ и $y_2=x_2^4$. Общий вид приведенного квадратного уравнения с корнями $y_1$ и $y_2$ следующий:

$y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$

Чтобы составить это уравнение, нам нужно найти сумму $y_1+y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$, выразив их через известные нам значения $x_1+x_2$ и $x_1 \cdot x_2$.

1. Найдем сумму новых корней $y_1+y_2 = x_1^4+x_2^4$.

Для этого последовательно вычислим степени. Сначала найдем сумму квадратов корней:

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставляем известные значения:

$x_1^2+x_2^2 = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$

Теперь найдем сумму четвертых степеней:

$x_1^4+x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставляем вычисленное значение $x_1^2+x_2^2=19$ и известное $x_1x_2=3$:

$x_1^4+x_2^4 = 19^2 - 2 \cdot 3^2 = 361 - 2 \cdot 9 = 361 - 18 = 343$

Итак, сумма новых корней $y_1+y_2 = 343$.

2. Найдем произведение новых корней $y_1 \cdot y_2 = x_1^4 \cdot x_2^4$.

Произведение можно представить как:

$x_1^4 \cdot x_2^4 = (x_1 \cdot x_2)^4$

Подставляем известное значение $x_1x_2=3$:

$(x_1 \cdot x_2)^4 = 3^4 = 81$

Итак, произведение новых корней $y_1 \cdot y_2 = 81$.

3. Составим искомое квадратное уравнение.

Теперь подставим найденные значения суммы (343) и произведения (81) в общую формулу квадратного уравнения $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - 343y + 81 = 0$

По традиции, переменную в уравнении можно обозначить как $x$:

$x^2 - 343x + 81 = 0$

Ответ: $x^2 - 343x + 81 = 0$.