Номер 760, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 760, страница 269.

Условие.

760. Найти все такие значения $r$, при которых квадратное уравнение $x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющие условию $|x_1-x_2|=3$.

Решение 4.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (r-1)x - 2(r-1) = 0$.Для того чтобы уравнение имело действительные корни $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант для данного уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b=r-1$, $c=-2(r-1)$:$D = b^2 - 4ac = (r-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2(r-1)) = (r-1)^2 + 8(r-1)$.Вынесем общий множитель $(r-1)$ за скобки:$D = (r-1)(r-1+8) = (r-1)(r+7)$.Таким образом, условие существования действительных корней $D \ge 0$ выполняется при $(r-1)(r+7) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $r \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.

Теперь воспользуемся вторым условием, данным в задаче: $|x_1 - x_2| = 3$.Разность корней квадратного уравнения связана с его коэффициентами и дискриминантом следующей формулой: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.Так как в нашем уравнении старший коэффициент $a=1$, формула упрощается до:$|x_1 - x_2| = \sqrt{D}$.

Подставляя заданное условие, получаем:$\sqrt{D} = 3$.Возводя обе части этого равенства в квадрат, находим значение дискриминанта:$D = 9$.

Приравняем выражение для дискриминанта, которое мы нашли ранее, к этому значению:$(r-1)(r+7) = 9$.Раскроем скобки и преобразуем уравнение:$r^2 + 7r - r - 7 = 9$$r^2 + 6r - 7 - 9 = 0$$r^2 + 6r - 16 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $r$. Решим его. Можно применить теорему Виета: произведение корней равно $-16$, а их сумма равна $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $-8$ и $2$.Либо найдем корни через дискриминант этого уравнения ($D_r$):$D_r = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.Корни уравнения для $r$:$r_1 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.$r_2 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

На последнем шаге необходимо проверить, принадлежат ли найденные значения $r$ области допустимых значений, которую мы определили из условия $D \ge 0$, то есть $r \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.Для $r_1 = -8$: $-8 \le -7$, что верно. Значение подходит.Для $r_2 = 2$: $2 \ge 1$, что верно. Значение также подходит.Следовательно, оба найденных значения параметра $r$ являются решениями задачи.

Ответ: $r = -8$, $r = 2$.