Номер 766, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 766, страница 270.

Условие.

766. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

Решение 4.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ — длина кольцевой дороги, $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго автомобилей. Время, за которое каждый автомобиль проезжает всю трассу, обозначим как $t_1 = S/v_1$ и $t_2 = S/v_2$. Без ограничения общности будем считать, что $v_1 > v_2$.

1. Движение в одном направлении

Когда автомобили движутся в одном направлении, они оказываются рядом, когда более быстрый автомобиль обгоняет более медленный, то есть проходит на один круг больше. Относительная скорость, с которой быстрый автомобиль удаляется от медленного, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$. Время, за которое расстояние между ними становится равным длине круга $S$, составляет 56 минут. Таким образом, можно составить уравнение:

$S = (v_1 - v_2) \cdot 56$

Отсюда следует, что разность скоростей равна:

$v_1 - v_2 = S / 56$

2. Движение в противоположных направлениях

При движении в противоположных направлениях автомобили едут навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встречаются каждые 8 минут. За это время суммарное расстояние, которое они проезжают, равно длине одного круга $S$. Составим второе уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot 8$

Отсюда сумма скоростей равна:

$v_1 + v_2 = S / 8$

3. Решение системы уравнений и нахождение времени

Мы получили систему из двух линейных уравнений для скоростей $v_1$ и $v_2$:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = S/8 \\ v_1 - v_2 = S/56 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти скорость первого автомобиля $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = S/8 + S/56$

$2v_1 = 7S/56 + S/56 = 8S/56 = S/7$

$v_1 = S/14$

Теперь можем найти время $t_1$, за которое первый автомобиль проезжает всю трассу:

$t_1 = S / v_1 = S / (S/14) = 14$ минут.

Далее, вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти скорость второго автомобиля $v_2$:

$(v_1 + v_2) - (v_1 - v_2) = S/8 - S/56$

$2v_2 = 7S/56 - S/56 = 6S/56 = 3S/28$

$v_2 = 3S/56$

Найдем время $t_2$, за которое второй автомобиль проезжает всю трассу:

$t_2 = S / v_2 = S / (3S/56) = 56/3$ минуты.

Дробное значение времени можно перевести в минуты и секунды: $56/3 = 18 \frac{2}{3}$ минуты, что составляет 18 минут и 40 секунд.

Ответ: один автомобиль проезжает всю кольцевую трассу за 14 минут, а второй – за $56/3$ минуты (18 минут 40 секунд).