Номер 768, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 768, страница 270.

Условие.

768. Пешеход и велосипедист отправляются из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно. Прибыв в пункт $B$, велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта $A$, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдёт путь от $A$ до $B$?

Решение 4.

Обозначим расстояние между пунктами А и B как $S$, скорость пешехода как $v_п$, а скорость велосипедиста как $v_в$. Время будем измерять в минутах. Нам нужно найти время, за которое пешеход пройдет путь от А до В, то есть величину $T_п = S / v_п$.

Первая встреча.
Пешеход и велосипедист движутся 20 минут до первой встречи. За это время пешеход проходит расстояние $S_1 = v_п \cdot 20$. Велосипедист за это же время успевает доехать до пункта B (пройдя путь $S$) и вернуться назад до места встречи. Расстояние, которое он проехал от B обратно, равно $S - S_1$. Таким образом, суммарное расстояние, которое они вместе преодолели, равно полному пути от А до B и обратно, то есть $2S$. Запишем это в виде уравнения: $v_п \cdot 20 + v_в \cdot 20 = 2S$ Разделив обе части на 2, получим: $10(v_п + v_в) = S$ (1)

Вторая встреча (догон).
Вторая встреча происходит через 10 минут после первой. Это значит, что с момента старта прошло $20 + 10 = 30$ минут. За 30 минут пешеход прошел расстояние $S_2 = v_п \cdot 30$. За это же время велосипедист доехал до B, вернулся к месту первой встречи, доехал до A, снова развернулся и догнал пешехода. Путь, пройденный велосипедистом, складывается из пути от A до B ($S$), пути от B до A ($S$) и пути от A до точки, где он догнал пешехода ($S_2$). Общий путь велосипедиста равен $S + S + S_2 = 2S + 30v_п$. Этот путь он проделал за 30 минут, значит: $v_в \cdot 30 = 2S + 30v_п$ Перенесем $30v_п$ в левую часть: $30(v_в - v_п) = 2S$ Разделив обе части на 2, получим: $15(v_в - v_п) = S$ (2)

Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть два выражения для $S$. Приравняем их: $10(v_п + v_в) = 15(v_в - v_п)$ Разделим обе части на 5: $2(v_п + v_в) = 3(v_в - v_п)$ Раскроем скобки: $2v_п + 2v_в = 3v_в - 3v_п$ Сгруппируем слагаемые с $v_п$ и $v_в$: $2v_п + 3v_п = 3v_в - 2v_в$ $5v_п = v_в$ Мы выяснили, что скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода.

Нахождение времени пешехода.
Теперь подставим найденное соотношение $v_в = 5v_п$ в любое из уравнений для $S$, например, в первое: $S = 10(v_п + v_в) = 10(v_п + 5v_п) = 10(6v_п) = 60v_п$. Время, которое требуется пешеходу, чтобы пройти путь $S$, равно: $T_п = S / v_п = (60v_п) / v_п = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.