Номер 767, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 767, страница 270.

Условие.

767. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

Решение 4.

Обозначим длину замкнутой дорожки как $S$. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго спортсмена, а $t_1$ и $t_2$ — время, за которое они пробегают один круг соответственно. Без ограничения общности, пусть первый спортсмен будет быстрее второго, то есть $v_1 > v_2$. Следовательно, время на пробег одного круга у первого спортсмена меньше: $t_1 < t_2$.

Из условия задачи известно, что один спортсмен тратит на пробег всей дорожки на 5 секунд меньше другого. Согласно нашему предположению:$t_2 - t_1 = 5 \text{ с}$Скорости спортсменов можно выразить через длину дорожки и время одного круга:$v_1 = \frac{S}{t_1}$ и $v_2 = \frac{S}{t_2}$

Когда спортсмены бегут в одном направлении, их относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна разности их скоростей: $v_{отн1} = v_1 - v_2$. Они окажутся рядом, когда более быстрый спортсмен обгонит медленного на один полный круг. Время до этой встречи дано в условии и равно 30 с. За это время быстрый спортсмен пробегает на один круг ($S$) больше, чем медленный.$S = v_{отн1} \cdot 30 = (v_1 - v_2) \cdot 30$

Подставим выражения для скоростей в это уравнение:$S = \left(\frac{S}{t_1} - \frac{S}{t_2}\right) \cdot 30$Так как длина дорожки $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$1 = \left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right) \cdot 30$$\frac{1}{30} = \frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $t_1$ и $t_2$:

$\begin{cases}t_2 - t_1 = 5 \\\frac{t_2 - t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{30}\end{cases}$

Подставим значение $t_2 - t_1 = 5$ во второе уравнение:$\frac{5}{t_1 t_2} = \frac{1}{30}$Отсюда получаем:$t_1 t_2 = 5 \cdot 30 = 150$

Теперь решим систему:$\begin{cases}t_2 - t_1 = 5 \\t_1 t_2 = 150\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_2 = t_1 + 5$ и подставим во второе:$t_1 (t_1 + 5) = 150$$t_1^2 + 5t_1 - 150 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 = 25^2$$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{2}$Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:$t_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ с}$Тогда время второго спортсмена:$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ с}$

Теперь найдем время, через которое спортсмены встретятся, если побегут в противоположных направлениях. В этом случае их относительная скорость будет равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = v_1 + v_2$. Они встретятся, когда суммарное расстояние, которое они пробегут, будет равно длине одного круга $S$. Пусть время до встречи в этом случае будет $t_{встр}$.$S = v_{отн2} \cdot t_{встр} = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$Отсюда:$t_{встр} = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Подставим выражения для скоростей:$t_{встр} = \frac{S}{\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$Теперь подставим найденные значения $t_1 = 10$ с и $t_2 = 15$ с:$t_{встр} = \frac{1}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15}} = \frac{1}{\frac{3}{30} + \frac{2}{30}} = \frac{1}{\frac{5}{30}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \text{ с}$

Ответ: 6 с.