Номер 762, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 762, страница 270.

Условие.

762. Разложить многочлен на множители:

1) $a^4 - 2a^2 - 3$;

2) $a^4 - 5a^2 + 4$.

Решение 4.

1) Чтобы разложить многочлен $a^4 - 2a^2 - 3$ на множители, воспользуемся методом замены переменной, так как это биквадратный многочлен. Пусть $x = a^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена: $x^2 - 2x - 3$. Для разложения этого трехчлена на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ Таким образом, квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x - (-1)) = (x - 3)(x + 1)$. Теперь выполним обратную замену, подставив $a^2$ вместо $x$: $(a^2 - 3)(a^2 + 1)$. Это и есть окончательное разложение на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(a^2 - 3)(a^2 + 1)$

2) Многочлен $a^4 - 5a^2 + 4$ также является биквадратным. Применим замену переменной: пусть $x = a^2$. Получим квадратный трехчлен: $x^2 - 5x + 4$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Следовательно, разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. Выполним обратную замену $x = a^2$: $(a^2 - 1)(a^2 - 4)$. Оба множителя в полученном выражении представляют собой разность квадратов и могут быть разложены дальше по формуле $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$: $a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$ $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$ Собирая все множители вместе, получаем окончательный результат: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$