Номер 756, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 756, страница 269.

Условие.

756. Доказать, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня разных знаков при любом $b$, если $ac < 0$.

Решение 4.

Для доказательства того, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня разных знаков, нужно установить два факта: во-первых, что уравнение имеет два различных действительных корня, и, во-вторых, что знаки этих корней противоположны.

1. Доказательство существования двух различных действительных корней.
Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант строго положителен ($D > 0$).
По условию задачи, $ac < 0$. Умножим это неравенство на $-4$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-4ac > 0$.
Теперь рассмотрим выражение для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Член $b^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$ для любого значения $b$.
Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа $b^2$ и строго положительного числа $(-4ac)$. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда строго положительна.
Следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$ при любом значении $b$.
Это доказывает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2. Доказательство того, что корни имеют разные знаки.
Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Из условия $ac < 0$ следует, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки (один из них положителен, а другой отрицателен).
Следовательно, их отношение (частное) $\frac{c}{a}$ также будет отрицательным числом:
$\frac{c}{a} < 0$.
Таким образом, мы получаем, что произведение корней $x_1 \cdot x_2 < 0$.
Произведение двух действительных чисел отрицательно тогда и только тогда, когда одно из них положительно, а другое отрицательно.
Это означает, что корни уравнения $x_1$ и $x_2$ имеют разные знаки.

Таким образом, доказано, что при условии $ac < 0$ квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ для любого действительного $b$ имеет два действительных корня разных знаков.
Ответ: Утверждение доказано.