Номер 750, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 750, страница 268.

Условие.

750. (Индусская задача «Стая обезьян»)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радости двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в стае?

Решение 4.

Это классическая задача, которая сводится к решению квадратного уравнения. Давайте обозначим общее количество обезьян в стае за $x$.

Согласно тексту задачи, стая была разделена на две части:

1. Первая часть — это «часть восьмая их в квадрате». Математически это выражается как $(\frac{x}{8})^2$.
2. Вторая часть — это 12 обезьян, которые «криком радости воздух свежий оглашали».

Сумма этих двух частей равна общему количеству обезьян в стае. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$(\frac{x}{8})^2 + 12 = x$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Возведем в квадрат дробь в левой части уравнения:

$\frac{x^2}{64} + 12 = x$

2. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:

$64 \cdot \frac{x^2}{64} + 64 \cdot 12 = 64 \cdot x$

$x^2 + 768 = 64x$

3. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

4. Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

5. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два возможных ответа: 48 и 16. Оба числа являются целыми и положительными, что допустимо для количества обезьян. Также оба числа делятся на 8, что необходимо по условию (чтобы «часть восьмая» была целым числом обезьян). Проверим оба варианта:

• Проверка для 48 обезьян:
  Первая группа: $(\frac{48}{8})^2 = 6^2 = 36$ обезьян.
  Вторая группа: 12 обезьян.
  Общее количество: $36 + 12 = 48$. Решение верное.
• Проверка для 16 обезьян:
  Первая группа: $(\frac{16}{8})^2 = 2^2 = 4$ обезьяны.
  Вторая группа: 12 обезьян.
  Общее количество: $4 + 12 = 16$. Решение также верное.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: в стае могло быть 16 или 48 обезьян.