Номер 753, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 753, страница 269.

Условие.

753. 1) $\left( \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} \right) : \left( \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} \right);$

2) $\left( \frac{2q}{p+2q} - \frac{4q^2}{p^2+4pq+4q^2} \right) : \left( \frac{2q}{p^2-4q^2} + \frac{1}{2q-p} \right);$

3) $\left( \frac{1}{1-a} - 1 \right) : \left( a + \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 \right);$

4) $\left( \frac{p}{p^2-4} + \frac{2}{2-p} + \frac{1}{p+2} \right) : \left( p-2 + \frac{10-p^2}{p+2} \right).$

Решение 4.

1) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} $. Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ 4a^2+4ab+b^2 = (2a+b)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2a+b)^2 $: $ \frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} $.
Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} $. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ 4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b) $. Во второй дроби вынесем минус из знаменателя: $ b-2a = -(2a-b) $, что меняет знак перед дробью: $ \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} $. Приведем к общему знаменателю $ (2a-b)(2a+b) $: $ \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} $.
Выполним деление результатов: $ \frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b} $. Сократим общие множители $ b $ и $ (2a+b) $: $ \frac{2a \cdot (2a-b)}{(2a+b) \cdot (-1)} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b} $.
Ответ: $ \frac{2a(b-2a)}{2a+b} $.

2) Упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2q}{p+2q} - \frac{4q^2}{p^2+4pq+4q^2} $. Знаменатель второй дроби — это полный квадрат: $ p^2+4pq+4q^2 = (p+2q)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (p+2q)^2 $: $ \frac{2q(p+2q)}{(p+2q)^2} - \frac{4q^2}{(p+2q)^2} = \frac{2pq+4q^2-4q^2}{(p+2q)^2} = \frac{2pq}{(p+2q)^2} $.
Упростим выражение во вторых скобках: $ \frac{2q}{p^2-4q^2} + \frac{1}{2q-p} $. Знаменатель первой дроби — разность квадратов: $ p^2-4q^2 = (p-2q)(p+2q) $. Знаменатель второй дроби: $ 2q-p = -(p-2q) $. $ \frac{2q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{1}{p-2q} $. Приведем к общему знаменателю $ (p-2q)(p+2q) $: $ \frac{2q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2q-(p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2q-p-2q}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{-p}{(p-2q)(p+2q)} $.
Выполним деление: $ \frac{2pq}{(p+2q)^2} : \frac{-p}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2pq}{(p+2q)^2} \cdot \frac{(p-2q)(p+2q)}{-p} $. Сократим общие множители $ p $ и $ (p+2q) $: $ \frac{2q \cdot (p-2q)}{(p+2q) \cdot (-1)} = -\frac{2q(p-2q)}{p+2q} = \frac{2q(2q-p)}{p+2q} $.
Ответ: $ \frac{2q(2q-p)}{p+2q} $.

3) Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $ 1-a $: $ \frac{1}{1-a} - 1 = \frac{1}{1-a} - \frac{1-a}{1-a} = \frac{1-(1-a)}{1-a} = \frac{1-1+a}{1-a} = \frac{a}{1-a} $.
Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $ 1-a $: $ a + \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 = \frac{(a+1)(1-a)}{1-a} + \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{1-a^2+1-2a^2}{1-a} = \frac{2-3a^2}{1-a} $.
Выполним деление: $ \frac{a}{1-a} : \frac{2-3a^2}{1-a} = \frac{a}{1-a} \cdot \frac{1-a}{2-3a^2} $. Сократим на $ (1-a) $: $ \frac{a}{2-3a^2} $.
Ответ: $ \frac{a}{2-3a^2} $.

4) Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $ p^2-4 = (p-2)(p+2) $ и $ 2-p = -(p-2) $. $ \frac{p}{p^2-4} + \frac{2}{2-p} + \frac{1}{p+2} = \frac{p}{(p-2)(p+2)} - \frac{2}{p-2} + \frac{1}{p+2} $. Приведем к общему знаменателю $ (p-2)(p+2) $: $ \frac{p - 2(p+2) + 1(p-2)}{(p-2)(p+2)} = \frac{p-2p-4+p-2}{(p-2)(p+2)} = \frac{-6}{p^2-4} $.
Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $ p+2 $: $ p-2 + \frac{10-p^2}{p+2} = \frac{(p-2)(p+2)}{p+2} + \frac{10-p^2}{p+2} = \frac{p^2-4+10-p^2}{p+2} = \frac{6}{p+2} $.
Выполним деление: $ \frac{-6}{p^2-4} : \frac{6}{p+2} = \frac{-6}{(p-2)(p+2)} \cdot \frac{p+2}{6} $. Сократим общие множители $ 6 $ и $ (p+2) $: $ \frac{-1}{p-2} = \frac{1}{-(p-2)} = \frac{1}{2-p} $.
Ответ: $ \frac{1}{2-p} $.