Страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

752. 1) $\left(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}\right) : \left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)$;

2) $\left(\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a}\right) \cdot \left(1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2}\right)$;

3) $\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)^2 - \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}\right)^2$.

1)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}) : (\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2})$.

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель для этих дробей будет $(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4-b^4$:

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 + (a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \frac{(a^4+2a^2b^2+b^4) + (a^4-2a^2b^2+b^4)}{a^4-b^4} = \frac{2a^4+2b^4}{a^4-b^4} = \frac{2(a^4+b^4)}{a^4-b^4}$.

Выполним деление полученных выражений, заменив деление на умножение обратной дроби:

$\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} : \frac{2(a^4+b^4)}{a^4-b^4} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^4-b^4}{2(a^4+b^4)} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{2(a^4+b^4)}$.

Сокращаем общие множители $2$ и $(a^2-b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{2}(a^2+b^2)}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-b^2)}(a^2+b^2)}{\cancel{2}(a^4+b^4)} = \frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{a^4+b^4} = \frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$.

Ответ: $\frac{(a^2+b^2)^2}{a^4+b^4}$

2)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a}) \cdot (1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2})$.

Упростим выражение в первой скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $2b(4b-a)$:

$\frac{a+4b}{2b} - \frac{6b}{4b-a} = \frac{(a+4b)(4b-a) - 6b \cdot 2b}{2b(4b-a)} = \frac{(4ab-a^2+16b^2-4ab) - 12b^2}{2b(4b-a)} = \frac{16b^2-a^2 - 12b^2}{2b(4b-a)} = \frac{4b^2-a^2}{2b(4b-a)}$.

Упростим выражение во второй скобке, приведя $1$ к дроби со знаменателем $a^2-4b^2$:

$1 - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2}{a^2-4b^2} - \frac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{(a^2-4b^2) - (a^2-2ab+4b^2)}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2-a^2+2ab-4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{2ab-8b^2}{a^2-4b^2} = \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}$.

Теперь перемножим полученные выражения. Для удобства преобразуем $4b^2-a^2 = -(a^2-4b^2)$ и $4b-a = -(a-4b)$:

$(\frac{4b^2-a^2}{2b(4b-a)}) \cdot (\frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}) = \frac{-(a^2-4b^2)}{2b(-(a-4b))} \cdot \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2}{2b(a-4b)} \cdot \frac{2b(a-4b)}{a^2-4b^2}$.

Сокращаем все общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2-4b^2}}{\cancel{2b}(\cancel{a-4b})} \cdot \frac{\cancel{2b}(\cancel{a-4b})}{\cancel{a^2-4b^2}} = 1$.

Ответ: $1$

3)

Рассмотрим выражение: $(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2 - (\frac{2ab}{a^2-b^2})^2$.

Так как знаменатели у дробей под квадратами одинаковы, можно объединить их под один знаменатель, предварительно возведя в квадрат:

$(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2})^2 - (\frac{2ab}{a^2-b^2})^2 = \frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2} - \frac{(2ab)^2}{(a^2-b^2)^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2}{(a^2-b^2)^2}$.

Упростим числитель. Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения:

$(a^2+b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$.

Свернем полученный числитель по формуле квадрата разности:

$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2-b^2)^2$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2} = 1$.

Ответ: $1$

753. 1) $\left( \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} \right) : \left( \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} \right);$

2) $\left( \frac{2q}{p+2q} - \frac{4q^2}{p^2+4pq+4q^2} \right) : \left( \frac{2q}{p^2-4q^2} + \frac{1}{2q-p} \right);$

3) $\left( \frac{1}{1-a} - 1 \right) : \left( a + \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 \right);$

4) $\left( \frac{p}{p^2-4} + \frac{2}{2-p} + \frac{1}{p+2} \right) : \left( p-2 + \frac{10-p^2}{p+2} \right).$

1) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2} $. Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ 4a^2+4ab+b^2 = (2a+b)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (2a+b)^2 $: $ \frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} $.
Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ \frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a} $. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ 4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b) $. Во второй дроби вынесем минус из знаменателя: $ b-2a = -(2a-b) $, что меняет знак перед дробью: $ \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1}{2a-b} $. Приведем к общему знаменателю $ (2a-b)(2a+b) $: $ \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a-2a-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} $.
Выполним деление результатов: $ \frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b} $. Сократим общие множители $ b $ и $ (2a+b) $: $ \frac{2a \cdot (2a-b)}{(2a+b) \cdot (-1)} = -\frac{2a(2a-b)}{2a+b} = \frac{2a(b-2a)}{2a+b} $.
Ответ: $ \frac{2a(b-2a)}{2a+b} $.

2) Упростим выражение в первых скобках: $ \frac{2q}{p+2q} - \frac{4q^2}{p^2+4pq+4q^2} $. Знаменатель второй дроби — это полный квадрат: $ p^2+4pq+4q^2 = (p+2q)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (p+2q)^2 $: $ \frac{2q(p+2q)}{(p+2q)^2} - \frac{4q^2}{(p+2q)^2} = \frac{2pq+4q^2-4q^2}{(p+2q)^2} = \frac{2pq}{(p+2q)^2} $.
Упростим выражение во вторых скобках: $ \frac{2q}{p^2-4q^2} + \frac{1}{2q-p} $. Знаменатель первой дроби — разность квадратов: $ p^2-4q^2 = (p-2q)(p+2q) $. Знаменатель второй дроби: $ 2q-p = -(p-2q) $. $ \frac{2q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{1}{p-2q} $. Приведем к общему знаменателю $ (p-2q)(p+2q) $: $ \frac{2q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2q-(p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2q-p-2q}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{-p}{(p-2q)(p+2q)} $.
Выполним деление: $ \frac{2pq}{(p+2q)^2} : \frac{-p}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{2pq}{(p+2q)^2} \cdot \frac{(p-2q)(p+2q)}{-p} $. Сократим общие множители $ p $ и $ (p+2q) $: $ \frac{2q \cdot (p-2q)}{(p+2q) \cdot (-1)} = -\frac{2q(p-2q)}{p+2q} = \frac{2q(2q-p)}{p+2q} $.
Ответ: $ \frac{2q(2q-p)}{p+2q} $.

3) Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $ 1-a $: $ \frac{1}{1-a} - 1 = \frac{1}{1-a} - \frac{1-a}{1-a} = \frac{1-(1-a)}{1-a} = \frac{1-1+a}{1-a} = \frac{a}{1-a} $.
Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $ 1-a $: $ a + \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 = \frac{(a+1)(1-a)}{1-a} + \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{1-a^2+1-2a^2}{1-a} = \frac{2-3a^2}{1-a} $.
Выполним деление: $ \frac{a}{1-a} : \frac{2-3a^2}{1-a} = \frac{a}{1-a} \cdot \frac{1-a}{2-3a^2} $. Сократим на $ (1-a) $: $ \frac{a}{2-3a^2} $.
Ответ: $ \frac{a}{2-3a^2} $.

4) Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $ p^2-4 = (p-2)(p+2) $ и $ 2-p = -(p-2) $. $ \frac{p}{p^2-4} + \frac{2}{2-p} + \frac{1}{p+2} = \frac{p}{(p-2)(p+2)} - \frac{2}{p-2} + \frac{1}{p+2} $. Приведем к общему знаменателю $ (p-2)(p+2) $: $ \frac{p - 2(p+2) + 1(p-2)}{(p-2)(p+2)} = \frac{p-2p-4+p-2}{(p-2)(p+2)} = \frac{-6}{p^2-4} $.
Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $ p+2 $: $ p-2 + \frac{10-p^2}{p+2} = \frac{(p-2)(p+2)}{p+2} + \frac{10-p^2}{p+2} = \frac{p^2-4+10-p^2}{p+2} = \frac{6}{p+2} $.
Выполним деление: $ \frac{-6}{p^2-4} : \frac{6}{p+2} = \frac{-6}{(p-2)(p+2)} \cdot \frac{p+2}{6} $. Сократим общие множители $ 6 $ и $ (p+2) $: $ \frac{-1}{p-2} = \frac{1}{-(p-2)} = \frac{1}{2-p} $.
Ответ: $ \frac{1}{2-p} $.

754. Построить график функции:

1) $y = \sqrt{x^2}$;

2) $y = |x - 1|$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$;

4) $y = \sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{(x + 1)^2}$;

5) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x + 2|$.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2}$.
Основное свойство арифметического квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Применяя это тождество, мы можем упростить данную функцию: $y = \sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции "модуль $x$".
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат (0, 0):
1. При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x$. Это биссектриса I координатного угла.
2. При $x < 0$, модуль раскрывается как $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x$. Это биссектриса II координатного угла.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y = |x|$. Он представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), ветви которой являются лучами $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

2) Рассмотрим функцию $y = |x-1|$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = |x|$ (рассмотренного в пункте 1) с помощью геометрических преобразований. Преобразование вида $f(x) \to f(x-c)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ - влево.
В нашем случае $c=1$, поэтому график функции $y = |x|$ нужно сдвинуть на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" переместится из точки (0, 0) в точку (1, 0).
Алгебраически, раскрывая модуль:
1. Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $y = x-1$.
2. Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$, то $y = -(x-1) = 1-x$.

Ответ: График функции $y = |x-1|$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 1 единицу вправо. Вершина графика находится в точке (1, 0).

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.
Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.
Тогда функцию можно переписать: $y = \sqrt{(x-3)^2}$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x-3|$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика перемещается в точку (3, 0).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ совпадает с графиком функции $y = |x-3|$. Это "галочка" с вершиной в точке (3, 0).

4) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x+1)^2}$.
Упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = |x-1| + |x+1|$.
Для построения графика раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=1$ и $x=-1$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x \ge 1$: оба подмодульных выражения неотрицательны. $y = (x-1) + (x+1) = 2x$.
2. При $-1 \le x < 1$: $x-1$ отрицательно, а $x+1$ неотрицательно. $y = -(x-1) + (x+1) = -x+1+x+1 = 2$.
3. При $x < -1$: оба подмодульных выражения отрицательны. $y = -(x-1) - (x+1) = -x+1-x-1 = -2x$.
Таким образом, график состоит из трех частей:
- луч $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, -1)$, заканчивающийся в точке $(-1, 2)$;
- горизонтальный отрезок $y = 2$ на промежутке $[-1, 1]$, соединяющий точки $(-1, 2)$ и $(1, 2)$;
- луч $y = 2x$ на промежутке $[1, +\infty)$, начинающийся в точке $(1, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ при $x < -1$, отрезка $y = 2$ при $-1 \le x \le 1$, и луча $y = 2x$ при $x > 1$.

5) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x+2|$.
Выражение под корнем $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Упростим функцию: $y = \sqrt{(x-2)^2} + |x+2| = |x-2| + |x+2|$.
Для построения графика раскроем модули. Нули подмодульных выражений: $x=2$ и $x=-2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
1. При $x \ge 2$: оба подмодульных выражения неотрицательны. $y = (x-2) + (x+2) = 2x$.
2. При $-2 \le x < 2$: $x-2$ отрицательно, а $x+2$ неотрицательно. $y = -(x-2) + (x+2) = -x+2+x+2 = 4$.
3. При $x < -2$: оба подмодульных выражения отрицательны. $y = -(x-2) - (x+2) = -x+2-x-2 = -2x$.
График состоит из трех частей:
- луч $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, -2)$, заканчивающийся в точке $(-2, 4)$;
- горизонтальный отрезок $y = 4$ на промежутке $[-2, 2]$, соединяющий точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$;
- луч $y = 2x$ на промежутке $[2, +\infty)$, начинающийся в точке $(2, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ при $x < -2$, отрезка $y = 4$ при $-2 \le x \le 2$, и луча $y = 2x$ при $x > 2$.

755. Найти действительные корни уравнения:

1) $x^2 - |x| - 2 = 0;$

2) $x^2 - 4|x| + 3 = 0;$

3) $|x^2 - x| = 2;$

4) $|x^2 + x| = 1;$

5) $|x^2 - 2| = 2;$

6) $|x^2 - 26| = 10.$

1) $x^2 - |x| - 2 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение следующим образом: $|x|^2 - |x| - 2 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$: $y^2 - y - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 2$. Корень $y_2 = -1$ является посторонним.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $|x| = 2$.

Из этого уравнения получаем два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

2) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$

Используем свойство $x^2 = |x|^2$ и перепишем уравнение: $|x|^2 - 4|x| + 3 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $y^2 - 4y + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$. Получаем два случая:

a) $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

b) $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.

3) $|x^2 - x| = 2$

Уравнение вида $|A| = B$ (где $B>0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

Следовательно, мы должны решить два уравнения:

a) $x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

b) $x^2 - x = -2 \implies x^2 - x + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Объединяя решения, получаем два корня исходного уравнения.

Ответ: $-1; 2$.

4) $|x^2 + x| = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 + x = 1 \implies x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

b) $x^2 + x = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

5) $|x^2 - 2| = 2$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 - 2 = 2 \implies x^2 = 4$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

b) $x^2 - 2 = -2 \implies x^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень: $x_3 = 0$.

Всего у уравнения три действительных корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

6) $|x^2 - 26| = 10$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

a) $x^2 - 26 = 10 \implies x^2 = 36$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

b) $x^2 - 26 = -10 \implies x^2 = 16$.

Корни этого уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $-6; -4; 4; 6$.

756. Доказать, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня разных знаков при любом $b$, если $ac < 0$.

Для доказательства того, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня разных знаков, нужно установить два факта: во-первых, что уравнение имеет два различных действительных корня, и, во-вторых, что знаки этих корней противоположны.

1. Доказательство существования двух различных действительных корней.
Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант строго положителен ($D > 0$).
По условию задачи, $ac < 0$. Умножим это неравенство на $-4$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-4ac > 0$.
Теперь рассмотрим выражение для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Член $b^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$ для любого значения $b$.
Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа $b^2$ и строго положительного числа $(-4ac)$. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда строго положительна.
Следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$ при любом значении $b$.
Это доказывает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2. Доказательство того, что корни имеют разные знаки.
Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ произведение корней равно:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
Из условия $ac < 0$ следует, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки (один из них положителен, а другой отрицателен).
Следовательно, их отношение (частное) $\frac{c}{a}$ также будет отрицательным числом:
$\frac{c}{a} < 0$.
Таким образом, мы получаем, что произведение корней $x_1 \cdot x_2 < 0$.
Произведение двух действительных чисел отрицательно тогда и только тогда, когда одно из них положительно, а другое отрицательно.
Это означает, что корни уравнения $x_1$ и $x_2$ имеют разные знаки.

Таким образом, доказано, что при условии $ac < 0$ квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ для любого действительного $b$ имеет два действительных корня разных знаков.
Ответ: Утверждение доказано.

757. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ удовлетворяют условию $x_1^2 + x_2^2 = 18$. Найти $r$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 18, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 18$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем уравнении $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ коэффициенты $p$ и $q$ равны: $p = -2r$ и $q = -7r^2$.
Следовательно, по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2r) = 2r$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7r^2$

Теперь преобразуем данное в условии выражение $x_1^2 + x_2^2$, выразив его через сумму и произведение корней. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, откуда следует:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество выражения, полученные по теореме Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (2r)^2 - 2(-7r^2) = 4r^2 + 14r^2 = 18r^2$

Так как по условию $x_1^2 + x_2^2 = 18$, мы можем составить уравнение относительно $r$:

$18r^2 = 18$

Решим это уравнение:

$r^2 = 1$

$r = \pm\sqrt{1}$

Получаем два возможных значения для $r$: $r_1 = 1$ и $r_2 = -1$.

Убедимся, что при этих значениях $r$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = (-2r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7r^2) = 4r^2 + 28r^2 = 32r^2$

Так как $r^2$ всегда неотрицательно, то и $D = 32r^2 \ge 0$ для любого действительного $r$. При $r = 1$ и $r = -1$ дискриминант $D = 32(1)^2 = 32 > 0$, что подтверждает наличие двух различных действительных корней.

Ответ: $r = 1$ или $r = -1$.

758. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$. Составить квадратное уравнение с корнями $x_1^4$ и $x_2^4$, не решая данное.

Пусть дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, сумма и произведение его корней равны:

$x_1+x_2 = -b/a$

$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Для исходного уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$ имеем коэффициенты $a=1, b=-5, c=3$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1+x_2 = -(-5)/1 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 3/1 = 3$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут $y_1=x_1^4$ и $y_2=x_2^4$. Общий вид приведенного квадратного уравнения с корнями $y_1$ и $y_2$ следующий:

$y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$

Чтобы составить это уравнение, нам нужно найти сумму $y_1+y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$, выразив их через известные нам значения $x_1+x_2$ и $x_1 \cdot x_2$.

1. Найдем сумму новых корней $y_1+y_2 = x_1^4+x_2^4$.

Для этого последовательно вычислим степени. Сначала найдем сумму квадратов корней:

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставляем известные значения:

$x_1^2+x_2^2 = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$

Теперь найдем сумму четвертых степеней:

$x_1^4+x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставляем вычисленное значение $x_1^2+x_2^2=19$ и известное $x_1x_2=3$:

$x_1^4+x_2^4 = 19^2 - 2 \cdot 3^2 = 361 - 2 \cdot 9 = 361 - 18 = 343$

Итак, сумма новых корней $y_1+y_2 = 343$.

2. Найдем произведение новых корней $y_1 \cdot y_2 = x_1^4 \cdot x_2^4$.

Произведение можно представить как:

$x_1^4 \cdot x_2^4 = (x_1 \cdot x_2)^4$

Подставляем известное значение $x_1x_2=3$:

$(x_1 \cdot x_2)^4 = 3^4 = 81$

Итак, произведение новых корней $y_1 \cdot y_2 = 81$.

3. Составим искомое квадратное уравнение.

Теперь подставим найденные значения суммы (343) и произведения (81) в общую формулу квадратного уравнения $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$:

$y^2 - 343y + 81 = 0$

По традиции, переменную в уравнении можно обозначить как $x$:

$x^2 - 343x + 81 = 0$

Ответ: $x^2 - 343x + 81 = 0$.

759. Не вычисляя корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 8 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

3) $x_1^4 x_2 + x_2^4 x_1$;

4) $x_1^4 + x_2^4$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $2x^2 + 7x - 8 = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=7$, $c=-8$.

Следовательно, по теореме Виета находим сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения, не вычисляя сами корни.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Чтобы найти сумму этих дробей, приведем их к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-7/2}{-4} = \frac{7}{2 \cdot 4} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

2) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Чтобы найти $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Вычислим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (-\frac{7}{2})^2 - 2 \cdot (-4) = \frac{49}{4} + 8 = \frac{49}{4} + \frac{32}{4} = \frac{81}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{81/4}{-4} = -\frac{81}{16}$

Ответ: $-\frac{81}{16}$

3) $x_1^4x_2 + x_2^4x_1$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:

$x_1^4x_2 + x_2^4x_1 = x_1 x_2 (x_1^3 + x_2^3)$

Чтобы найти $x_1^3 + x_2^3$, воспользуемся формулой куба суммы: $(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$. Отсюда $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$.

Вычислим $x_1^3 + x_2^3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-\frac{7}{2})^3 - 3 \cdot (-4) \cdot (-\frac{7}{2}) = -\frac{343}{8} - 3 \cdot (14) = -\frac{343}{8} - 42 = -\frac{343}{8} - \frac{336}{8} = -\frac{679}{8}$

Теперь найдем значение исходного выражения:

$x_1 x_2 (x_1^3 + x_2^3) = -4 \cdot (-\frac{679}{8}) = \frac{4 \cdot 679}{8} = \frac{679}{2}$

Ответ: $\frac{679}{2}$

4) $x_1^4 + x_2^4$

Представим $x_1^4 + x_2^4$ как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$. Используя ту же логику, что и в пункте 2, получаем:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2$

Из пункта 2) мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = \frac{81}{4}$.

Подставим известные значения:

$x_1^4 + x_2^4 = (\frac{81}{4})^2 - 2(-4)^2 = \frac{6561}{16} - 2 \cdot 16 = \frac{6561}{16} - 32 = \frac{6561 - 32 \cdot 16}{16} = \frac{6561 - 512}{16} = \frac{6049}{16}$

Ответ: $\frac{6049}{16}$

760. Найти все такие значения $r$, при которых квадратное уравнение $x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющие условию $|x_1-x_2|=3$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (r-1)x - 2(r-1) = 0$.Для того чтобы уравнение имело действительные корни $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант для данного уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b=r-1$, $c=-2(r-1)$:$D = b^2 - 4ac = (r-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2(r-1)) = (r-1)^2 + 8(r-1)$.Вынесем общий множитель $(r-1)$ за скобки:$D = (r-1)(r-1+8) = (r-1)(r+7)$.Таким образом, условие существования действительных корней $D \ge 0$ выполняется при $(r-1)(r+7) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $r \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.

Теперь воспользуемся вторым условием, данным в задаче: $|x_1 - x_2| = 3$.Разность корней квадратного уравнения связана с его коэффициентами и дискриминантом следующей формулой: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.Так как в нашем уравнении старший коэффициент $a=1$, формула упрощается до:$|x_1 - x_2| = \sqrt{D}$.

Подставляя заданное условие, получаем:$\sqrt{D} = 3$.Возводя обе части этого равенства в квадрат, находим значение дискриминанта:$D = 9$.

Приравняем выражение для дискриминанта, которое мы нашли ранее, к этому значению:$(r-1)(r+7) = 9$.Раскроем скобки и преобразуем уравнение:$r^2 + 7r - r - 7 = 9$$r^2 + 6r - 7 - 9 = 0$$r^2 + 6r - 16 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $r$. Решим его. Можно применить теорему Виета: произведение корней равно $-16$, а их сумма равна $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $-8$ и $2$.Либо найдем корни через дискриминант этого уравнения ($D_r$):$D_r = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.Корни уравнения для $r$:$r_1 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.$r_2 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

На последнем шаге необходимо проверить, принадлежат ли найденные значения $r$ области допустимых значений, которую мы определили из условия $D \ge 0$, то есть $r \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.Для $r_1 = -8$: $-8 \le -7$, что верно. Значение подходит.Для $r_2 = 2$: $2 \ge 1$, что верно. Значение также подходит.Следовательно, оба найденных значения параметра $r$ являются решениями задачи.

Ответ: $r = -8$, $r = 2$.