Страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

705. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 - 4}{a + 2}$;

2) $\frac{a + 2}{a^2 - 7a - 18}$;

3) $\frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 + 6a + 8}$;

4) $\frac{2a^2 - 5a - 3}{4a^2 - 6a - 4}$;

5) $\frac{-2a^2 + 3a + 2}{2a^2 + 5a + 2}$;

6) $\frac{-5a^2 + 13a + 6}{5a^2 - 8a - 4}$.

1) $\frac{a^2 - 4}{a + 2}$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Числитель $a^2 - 4$ представляет собой разность квадратов $a^2 - 2^2$.

Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Получаем: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$

Сократим общий множитель $(a + 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$).

$\frac{(a - 2)\sout{(a + 2)}}{\sout{a + 2}} = a - 2$

Ответ: $a - 2$

2) $\frac{a + 2}{a^2 - 7a - 18}$

Разложим знаменатель $a^2 - 7a - 18$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 7a - 18 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $-18$. Методом подбора находим корни: $a_1 = 9$ и $a_2 = -2$.

Знаменатель раскладывается на множители по формуле $A(a - a_1)(a - a_2)$:

$a^2 - 7a - 18 = (a - 9)(a - (-2)) = (a - 9)(a + 2)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a + 2}{(a - 9)(a + 2)}$

Сократим общий множитель $(a + 2)$ (при условии, что $a \neq -2$).

$\frac{\sout{a + 2}}{(a - 9)\sout{(a + 2)}} = \frac{1}{a - 9}$

Ответ: $\frac{1}{a - 9}$

3) $\frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 + 6a + 8}$

Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 + 7a + 12$. Найдем корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-7$, произведение $12$. Корни: $a_1 = -3$, $a_2 = -4$.

Таким образом, $a^2 + 7a + 12 = (a - (-3))(a - (-4)) = (a + 3)(a + 4)$.

Разложим знаменатель $a^2 + 6a + 8$. Найдем корни уравнения $a^2 + 6a + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $-6$, произведение $8$. Корни: $a_1 = -2$, $a_2 = -4$.

Таким образом, $a^2 + 6a + 8 = (a - (-2))(a - (-4)) = (a + 2)(a + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(a + 3)(a + 4)}{(a + 2)(a + 4)}$

Сократим общий множитель $(a + 4)$ (при условии, что $a \neq -4$).

$\frac{(a + 3)\sout{(a + 4)}}{(a + 2)\sout{(a + 4)}} = \frac{a + 3}{a + 2}$

Ответ: $\frac{a + 3}{a + 2}$

4) $\frac{2a^2 - 5a - 3}{4a^2 - 6a - 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2a^2 - 5a - 3$ решим уравнение $2a^2 - 5a - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $a_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ и $a_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)$.

Для знаменателя $4a^2 - 6a - 4$ сначала вынесем общий множитель 2: $2(2a^2 - 3a - 2)$. Теперь решим уравнение $2a^2 - 3a - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $a_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $a_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда $2a^2 - 3a - 2 = 2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = (a - 2)(2a + 1)$.

Знаменатель равен $2(a - 2)(2a + 1)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(a - 3)(2a + 1)}{2(a - 2)(2a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(2a + 1)$ (при условии, что $a \neq -\frac{1}{2}$).

$\frac{(a - 3)\sout{(2a + 1)}}{2(a - 2)\sout{(2a + 1)}} = \frac{a - 3}{2(a - 2)}$

Ответ: $\frac{a - 3}{2(a - 2)}$

5) $\frac{-2a^2 + 3a + 2}{2a^2 + 5a + 2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $-2a^2 + 3a + 2$ решим уравнение $-2a^2 + 3a + 2 = 0$ или $2a^2 - 3a - 2 = 0$. Корни этого уравнения мы нашли в предыдущем задании: $a_1 = 2$ и $a_2 = -\frac{1}{2}$.

Тогда $-2a^2 + 3a + 2 = -2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = -(a - 2)(2a + 1) = (2 - a)(2a + 1)$.

Для знаменателя $2a^2 + 5a + 2$ решим уравнение $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $a_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Тогда $2a^2 + 5a + 2 = 2(a + \frac{1}{2})(a + 2) = (2a + 1)(a + 2)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(2 - a)(2a + 1)}{(a + 2)(2a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(2a + 1)$ (при условии, что $a \neq -\frac{1}{2}$).

$\frac{(2 - a)\sout{(2a + 1)}}{(a + 2)\sout{(2a + 1)}} = \frac{2 - a}{a + 2}$

Ответ: $\frac{2 - a}{a + 2}$

6) $\frac{-5a^2 + 13a + 6}{5a^2 - 8a - 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $-5a^2 + 13a + 6$ решим уравнение $-5a^2 + 13a + 6 = 0$ или $5a^2 - 13a - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни: $a_1 = \frac{13 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$ и $a_2 = \frac{13 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда $-5a^2 + 13a + 6 = -5(a - 3)(a + \frac{2}{5}) = -(a - 3)(5a + 2) = (3 - a)(5a + 2)$.

Для знаменателя $5a^2 - 8a - 4$ решим уравнение $5a^2 - 8a - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни: $a_1 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$ и $a_2 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда $5a^2 - 8a - 4 = 5(a - 2)(a + \frac{2}{5}) = (a - 2)(5a + 2)$.

Подставляем разложения в дробь:

$\frac{(3 - a)(5a + 2)}{(a - 2)(5a + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(5a + 2)$ (при условии, что $a \neq -\frac{2}{5}$).

$\frac{(3 - a)\sout{(5a + 2)}}{(a - 2)\sout{(5a + 2)}} = \frac{3 - a}{a - 2}$

Ответ: $\frac{3 - a}{a - 2}$

Разложить на множители (706—707).

706.

1) $a^4 - b^4 + b^2 - a^2;$

2) $m^2n - n + mn^2 - m;$

3) $m^5 + m^3 - m^2 - m^4;$

4) $x^4 - x^3 - x + x^2.$

1) Для разложения многочлена $a^4 - b^4 + b^2 - a^2$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^4 - b^4) + (b^2 - a^2)$. Первая скобка $(a^4 - b^4)$ представляет собой разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Во второй скобке $(b^2 - a^2)$ вынесем знак минус, чтобы получить выражение, совпадающее с одним из множителей первого слагаемого: $-(a^2 - b^2)$. Теперь исходное выражение имеет вид: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - (a^2 - b^2)$. Мы видим общий множитель $(a^2 - b^2)$, который можно вынести за скобки: $(a^2 - b^2)((a^2 + b^2) - 1) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - 1)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше: $(a - b)(a + b)$. Таким образом, окончательное разложение на множители: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2 - 1)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2 - 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $m^2n - n + mn^2 - m$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие общие переменные: $(m^2n + mn^2) - (m + n)$. Из первой группы $(m^2n + mn^2)$ вынесем за скобки общий множитель $mn$: $mn(m + n)$. Теперь выражение принимает вид: $mn(m + n) - (m + n)$. Мы видим общий множитель $(m+n)$, который выносим за скобки: $(m + n)(mn - 1)$.
Ответ: $(m + n)(mn - 1)$.

3) Рассмотрим выражение $m^5 + m^3 - m^2 - m^4$. Для удобства переставим слагаемые: $m^5 - m^4 + m^3 - m^2$. Сначала вынесем за скобки общий множитель $m^2$: $m^2(m^3 - m^2 + m - 1)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках $(m^3 - m^2 + m - 1)$ методом группировки: $(m^3 - m^2) + (m - 1)$. Из первой группы $(m^3 - m^2)$ вынесем за скобки $m^2$: $m^2(m - 1)$. Выражение в скобках принимает вид: $m^2(m-1) + 1(m-1)$. Выносим общий множитель $(m-1)$: $(m-1)(m^2+1)$. Подставляя это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат: $m^2(m-1)(m^2+1)$.
Ответ: $m^2(m-1)(m^2+1)$.

4) Рассмотрим выражение $x^4 - x^3 - x + x^2$. Переставим слагаемые для удобства: $x^4 - x^3 + x^2 - x$. Вынесем за скобки общий для всех слагаемых множитель $x$: $x(x^3 - x^2 + x - 1)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках $(x^3 - x^2 + x - 1)$ методом группировки: $(x^3 - x^2) + (x - 1)$. Из первой группы $(x^3 - x^2)$ вынесем за скобки $x^2$: $x^2(x - 1)$. Выражение в скобках принимает вид: $x^2(x-1) + 1(x-1)$. Выносим общий множитель $(x-1)$: $(x-1)(x^2+1)$. Учитывая вынесенный ранее множитель $x$, получаем итоговое разложение: $x(x-1)(x^2+1)$.
Ответ: $x(x-1)(x^2+1)$.

707. 1) $16x^2 + 8xy - 3y^2;$

2) $4 + a^4 - 5a^2;$

3) $b^4 - 13b^2 + 36;$

4) $3x^2 - 6xm - 9m^2.$

1) $16x^2+8xy-3y^2$

Для разложения на множители представим средний член $8xy$ в виде суммы или разности двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $x^2$ и $y^2$ (то есть $16 \cdot (-3) = -48$), а сумма равна коэффициенту при $xy$ (то есть $8$). Такими числами являются $12$ и $-4$, так как $12 \cdot (-4) = -48$ и $12 + (-4) = 8$.

Запишем исходное выражение, разбив средний член:

$16x^2 + 12xy - 4xy - 3y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(16x^2 + 12xy) - (4xy + 3y^2) = 4x(4x + 3y) - y(4x + 3y)$

Теперь вынесем общий множитель $(4x + 3y)$:

$(4x - y)(4x + 3y)$

Ответ: $(4x - y)(4x + 3y)$

2) $4+a^4-5a^2$

Перепишем многочлен, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$a^4 - 5a^2 + 4$

Данное выражение является биквадратным трехчленом. Сделаем замену переменной: пусть $z = a^2$. Тогда выражение примет вид:

$z^2 - 5z + 4$

Разложим этот квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $4$, а сумма равна $-5$. Это числа $-1$ и $-4$.

$z^2 - 5z + 4 = (z - 1)(z - 4)$

Выполним обратную замену $z = a^2$:

$(a^2 - 1)(a^2 - 4)$

Каждый из полученных множителей является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Окончательное разложение:

$(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2)$

3) $b^4-13b^2+36$

Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к квадратному. Пусть $z = b^2$. Тогда получим:

$z^2 - 13z + 36$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $36$, а сумма равна $-13$. Эти числа $-4$ и $-9$.

$z^2 - 13z + 36 = (z - 4)(z - 9)$

Выполним обратную замену $z = b^2$:

$(b^2 - 4)(b^2 - 9)$

Оба множителя представляют собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для каждого из них:

$b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b - 2)(b + 2)$

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Итоговый результат:

$(b - 2)(b + 2)(b - 3)(b + 3)$

Ответ: $(b - 2)(b + 2)(b - 3)(b + 3)$

4) $3x^2-6xm-9m^2$

В первую очередь вынесем за скобки общий числовой множитель $3$:

$3(x^2 - 2xm - 3m^2)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, рассматривая его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Представим средний член $-2xm$ в виде суммы $-3xm + xm$:

$x^2 - 3xm + xm - 3m^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 3xm) + (xm - 3m^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x - 3m) + m(x - 3m)$

Вынесем общий множитель $(x - 3m)$:

$(x - 3m)(x + m)$

Учитывая вынесенный вначале множитель $3$, получаем окончательный ответ:

$3(x - 3m)(x + m)$

Ответ: $3(x - 3m)(x + m)$

708. Инспектор рыбнадзора, исследуя свой участок, проплыл на катере по течению реки за $4$ ч расстояние в $3$ раза большее, чем за $2$ ч против течения реки. Какое расстояние преодолел инспектор, если скорость течения реки $3$ км/ч?

Для решения задачи обозначим собственную скорость катера как $v_c$ (в км/ч). Скорость течения реки известна и равна $v_т = 3$ км/ч.

1. Найдем выражения для скорости и расстояния.

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч.

Инспектор плыл по течению 4 часа, значит, расстояние, которое он проплыл по течению, равно:
$S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_c + 3) \cdot 4$ км.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{пр} = v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч.

Инспектор плыл против течения 2 часа, значит, расстояние, которое он проплыл против течения, равно:
$S_{пр} = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_c - 3) \cdot 2$ км.

2. Составим и решим уравнение.

По условию задачи, расстояние, пройденное по течению, в 3 раза больше расстояния, пройденного против течения. Запишем это в виде уравнения:

$S_{по} = 3 \cdot S_{пр}$

Подставим в это уравнение выражения для $S_{по}$ и $S_{пр}$:

$(v_c + 3) \cdot 4 = 3 \cdot (v_c - 3) \cdot 2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_c$:

$4v_c + 12 = 6(v_c - 3)$

$4v_c + 12 = 6v_c - 18$

Перенесем слагаемые с $v_c$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$12 + 18 = 6v_c - 4v_c$

$30 = 2v_c$

$v_c = 15$ км/ч.

3. Найдем общее расстояние.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость катера, мы можем найти расстояния, которые он проплыл.

Расстояние по течению:
$S_{по} = (15 + 3) \cdot 4 = 18 \cdot 4 = 72$ км.

Расстояние против течения:
$S_{пр} = (15 - 3) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$ км.

Общее расстояние, которое преодолел инспектор, — это сумма расстояний, пройденных по течению и против течения:

$S_{общ} = S_{по} + S_{пр} = 72 + 24 = 96$ км.

Ответ: 96 км.

709. Бригада формовщиков должна была в определённый срок изготовить 48 пресс-форм для отливки деталей. Предложенная бригадой новая технология формовки позволила изготовлять на 4 пресс-формы больше в месяц, поэтому всё задание они выполнили за месяц до срока. Сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество пресс-форм, которое бригада должна была изготавливать за месяц по первоначальному плану. Тогда фактическая производительность бригады составила $x + 4$ пресс-формы в месяц благодаря новой технологии.

Общий объем работы — 48 пресс-форм.

Время, которое планировалось затратить на выполнение всего задания, можно выразить как отношение общего объема работы к плановой производительности:

$t_{план} = \frac{48}{x}$ месяцев.

Фактическое время, затраченное на выполнение задания, можно выразить как отношение общего объема работы к фактической производительности:

$t_{факт} = \frac{48}{x+4}$ месяцев.

По условию задачи, бригада выполнила задание на месяц раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 1 месяц:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+4} = 1$

Теперь решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{48(x+4) - 48x}{x(x+4)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48x + 192 - 48x}{x^2 + 4x} = 1$

$\frac{192}{x^2 + 4x} = 1$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, мы можем умножить обе части на $x^2 + 4x$:

$192 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 192 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 28}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $x$ представляет собой количество производимых изделий, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственный подходящий корень — это $x=12$.

Таким образом, плановая производительность бригады составляла 12 пресс-форм в месяц.

Вопрос задачи — сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц по факту. Фактическая производительность была на 4 пресс-формы больше плановой:

$x + 4 = 12 + 4 = 16$

Ответ: бригада выпускала 16 пресс-форм за месяц.

710. С одного участка собрали $450 \text{ т}$ картофеля, а с другого, площадь которого на $5 \text{ га}$ меньше, $400 \text{ т}$. Определить урожайность картофеля с каждого участка, если на втором участке она была на $2 \text{ т}$ выше, чем на первом.

Пусть урожайность картофеля с первого участка составляет $x$ т/га.

Согласно условию, урожайность со второго участка на 2 т/га выше, следовательно, она составляет $(x + 2)$ т/га.

Урожайность — это отношение массы собранного урожая к площади участка. Отсюда площадь участка можно выразить как отношение массы урожая к его урожайности ($S = \frac{M}{Y}$).

С первого участка собрали 450 т картофеля, поэтому его площадь равна: $S_1 = \frac{450}{x}$ га.

Со второго участка собрали 400 т картофеля, поэтому его площадь равна: $S_2 = \frac{400}{x+2}$ га.

По условию задачи, площадь второго участка на 5 га меньше площади первого. На основе этого можно составить уравнение:

$S_1 - S_2 = 5$

$\frac{450}{x} - \frac{400}{x+2} = 5$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$ и умножим обе части уравнения на него. При этом необходимо учесть, что урожайность $x$ должна быть положительным числом ($x > 0$).

$450(x+2) - 400x = 5x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$450x + 900 - 400x = 5x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$50x + 900 = 5x^2 + 10x$

$5x^2 + 10x - 50x - 900 = 0$

$5x^2 - 40x - 900 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$x^2 - 8x - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 64 + 720 = 784$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

$x_1 = \frac{-(-8) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$x_2 = \frac{-(-8) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как урожайность не может быть отрицательной величиной. Следовательно, урожайность картофеля на первом участке составляет 18 т/га.

Теперь определим урожайность на втором участке:

$x + 2 = 18 + 2 = 20$ т/га.

Проверим полученные значения:

• Площадь первого участка: $S_1 = \frac{450 \text{ т}}{18 \text{ т/га}} = 25$ га.
• Площадь второго участка: $S_2 = \frac{400 \text{ т}}{20 \text{ т/га}} = 20$ га.
• Разница площадей: $25 \text{ га} - 20 \text{ га} = 5$ га. Это соответствует условию.
• Разница урожайности: $20 \text{ т/га} - 18 \text{ т/га} = 2$ т/га. Это также соответствует условию.

Ответ: урожайность картофеля с первого участка — 18 т/га, со второго — 20 т/га.

711. Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаменателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю — 12, то получится дробь втрое меньшая исходной. Найти эту дробь.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $n$, а знаменатель равен $d$. Тогда исходная дробь имеет вид $\frac{n}{d}$.

По условию задачи, числитель на 11 больше знаменателя. Составим первое уравнение: $n = d + 11$

Далее, если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю прибавить 12, то получится новая дробь $\frac{n+5}{d+12}$. Эта новая дробь втрое меньше исходной, что можно выразить вторым уравнением: $\frac{n + 5}{d + 12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{d}$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} n = d + 11 \\ \frac{n + 5}{d + 12} = \frac{n}{3d} \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе: $\frac{(d + 11) + 5}{d + 12} = \frac{d + 11}{3d}$

Упростим левую часть полученного уравнения: $\frac{d + 16}{d + 12} = \frac{d + 11}{3d}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений: $d \neq 0$ и $d \neq -12$. $3d \cdot (d + 16) = (d + 12) \cdot (d + 11)$

Раскроем скобки: $3d^2 + 48d = d^2 + 11d + 12d + 132$

Приведем подобные слагаемые: $3d^2 + 48d = d^2 + 23d + 132$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3d^2 - d^2 + 48d - 23d - 132 = 0$ $2d^2 + 25d - 132 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 25^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-132) = 625 + 1056 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем значения для $d$: $d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 41}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$ $d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 41}{2 \cdot 2} = \frac{-66}{4} = -\frac{33}{2}$

В условии речь идет об "обыкновенной дроби", числитель и знаменатель которой по определению являются целыми числами. Следовательно, корень $d_2 = -\frac{33}{2}$ не является подходящим решением. Единственный подходящий корень — это $d = 4$.

Теперь, зная знаменатель, найдем числитель из первого уравнения $n = d + 11$: $n = 4 + 11 = 15$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{15}{4}$.

Выполним проверку.
1. Проверим первое условие: числитель (15) на 11 больше знаменателя (4). $15 - 4 = 11$. Условие выполняется.
2. Проверим второе условие: к числителю прибавим 5, а к знаменателю 12. Новая дробь: $\frac{15+5}{4+12} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
3. Сравним полученную дробь с исходной. Исходная дробь $\frac{15}{4}$. Новая дробь $\frac{5}{4}$. Найдем их отношение: $\frac{15}{4} : \frac{5}{4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{15}{5} = 3$. Новая дробь в 3 раза меньше исходной. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{15}{4}$

712. Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбайне отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней больше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов отдельно можно выполнить эту работу?

Примем всю работу по уборке урожая с поля за единицу (1).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое второй комбайн может выполнить всю работу самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию задачи, первому комбайну требуется на 10 дней больше, чем второму. Значит, он может выполнить всю работу за $x + 10$ дней. Соответственно, производительность первого комбайна равна $\frac{1}{x+10}$.

При совместной работе производительности комбайнов складываются. Их общая производительность будет равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют всю работу за 12 дней. Это можно выразить уравнением: (общая производительность) $\times$ (время) = (объем работы).

Составим и решим уравнение: $12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}\right) = 1$

Разделим обе части уравнения на 12: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $\frac{x+10+x}{x(x+10)} = \frac{1}{12}$ $\frac{2x+10}{x^2+10x} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $12 \cdot (2x+10) = 1 \cdot (x^2+10x)$ $24x + 120 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 10x - 24x - 120 = 0$ $x^2 - 14x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 26}{2}$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $x_2 = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, время работы второго комбайна в одиночку составляет 20 дней.

Теперь найдем время работы первого комбайна: $x + 10 = 20 + 10 = 30$ дней.

Ответ: первому комбайну для выполнения работы потребуется 30 дней, а второму — 20 дней.

713. Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата 6 ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них потребуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой?

Примем всю работу по сборке агрегата за единицу (1).

Пусть время, которое требуется первой бригаде для выполнения всей работы, составляет $t$ часов. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $\frac{1}{t}$.

Согласно условию, второй бригаде на выполнение той же работы требуется на 3 часа больше, то есть $t+3$ часов. Соответственно, ее производительность равна $\frac{1}{t+3}$.

Две бригады, работая вместе, затратили 6 часов 40 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов. 40 минут составляют $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время работы равно $6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

При совместной работе производительности бригад складываются. Общая производительность $P_{общ}$ равна сумме производительностей каждой бригады: $P_{общ} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3}$.

Также общую производительность можно найти, разделив всю работу на время, затраченное на ее выполнение: $P_{общ} = \frac{1}{20/3} = \frac{3}{20}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{3}{20}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{t+3+t}{t(t+3)} = \frac{3}{20}$

$\frac{2t+3}{t^2+3t} = \frac{3}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (2t+3) = 3 \cdot (t^2+3t)$

Раскроем скобки:

$40t + 60 = 3t^2 + 9t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3t^2 + 9t - 40t - 60 = 0$

$3t^2 - 31t - 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681$

$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$

Теперь найдем значения $t$ по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-31) + 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 + 41}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$t_2 = \frac{-(-31) - 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 - 41}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Следовательно, время, за которое первая бригада выполнит работу, равно 12 часов.

Время, которое потребуется второй бригаде, составляет:

$t+3 = 12+3 = 15$ часов.

Ответ: одной бригаде на сборку агрегата потребуется 12 часов, а другой — 15 часов.