Страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

665. Решить неравенство:

1) $|x-2| \leq 5.4;$

2) $|x-2| \geq 5.4;$

3) $|2-x| < 5.4;$

4) $|3x+2| \geq 5;$

5) $|2x+3| < 5;$

6) $|3x-2.8| \geq 3.$

1) $|x-2| \le 5,4$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применяя это правило к исходному неравенству, получаем:

$-5,4 \le x - 2 \le 5,4$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-5,4 + 2 \le x - 2 + 2 \le 5,4 + 2$

$-3,4 \le x \le 7,4$

Решение в виде промежутка: $x \in [-3,4; 7,4]$.

Ответ: $x \in [-3,4; 7,4]$.

2) $|x-2| \ge 5,4$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$x - 2 \ge 5,4$ или $x - 2 \le -5,4$

Решаем первое неравенство:

$x \ge 5,4 + 2$

$x \ge 7,4$

Решаем второе неравенство:

$x \le -5,4 + 2$

$x \le -3,4$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -3,4] \cup [7,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3,4] \cup [7,4; +\infty)$.

3) $|2-x| < 5,4$

Используем свойство модуля $|a| = |-a|$, поэтому $|2-x| = |-(x-2)| = |x-2|$.

Неравенство принимает вид: $|x-2| < 5,4$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

$-5,4 < x - 2 < 5,4$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-5,4 + 2 < x - 2 + 2 < 5,4 + 2$

$-3,4 < x < 7,4$

Решение в виде промежутка: $x \in (-3,4; 7,4)$.

Ответ: $x \in (-3,4; 7,4)$.

4) $|3x+2| \ge 5$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$3x + 2 \ge 5$ или $3x + 2 \le -5$

Решаем первое неравенство:

$3x \ge 5 - 2$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Решаем второе неравенство:

$3x \le -5 - 2$

$3x \le -7$

$x \le -\frac{7}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3}] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

5) $|2x+3| < 5$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило, получаем:

$-5 < 2x + 3 < 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 < 2x + 3 - 3 < 5 - 3$

$-8 < 2x < 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-8}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{2}{2}$

$-4 < x < 1$

Решение в виде промежутка: $x \in (-4; 1)$.

Ответ: $x \in (-4; 1)$.

6) $|3x - 2,8| \ge 3$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$3x - 2,8 \ge 3$ или $3x - 2,8 \le -3$

Решаем первое неравенство:

$3x \ge 3 + 2,8$

$3x \ge 5,8$

$x \ge \frac{5,8}{3} \implies x \ge \frac{58}{30} \implies x \ge \frac{29}{15}$

Решаем второе неравенство:

$3x \le -3 + 2,8$

$3x \le -0,2$

$x \le \frac{-0,2}{3} \implies x \le -\frac{2}{30} \implies x \le -\frac{1}{15}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{29}{15}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{29}{15}; +\infty)$.

666. Найти погрешность приближения:

1) числа 0,2781 числом 0,278;

2) числа -2,154 числом -2,15;

3) числа $-$\frac{7}{18}$ числом $-$\frac{1}{3}$;

4) числа $\frac{3}{11}$ числом 0,272.

Погрешность приближения (или абсолютная погрешность) — это модуль разности между точным значением и его приближением. Если $x$ — это точное значение, а $a$ — приближенное значение, то погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$.

1) Найдем погрешность приближения числа $0,2781$ числом $0,278$.

Точное значение $x = 0,2781$.

Приближенное значение $a = 0,278$.

Погрешность равна: $\Delta = |0,2781 - 0,278| = |0,2781 - 0,2780| = |0,0001| = 0,0001$.

Ответ: $0,0001$.

2) Найдем погрешность приближения числа $-2,154$ числом $-2,15$.

Точное значение $x = -2,154$.

Приближенное значение $a = -2,15$.

Погрешность равна: $\Delta = |-2,154 - (-2,15)| = |-2,154 + 2,15| = |-0,004| = 0,004$.

Ответ: $0,004$.

3) Найдем погрешность приближения числа $-\frac{7}{18}$ числом $-\frac{1}{3}$.

Точное значение $x = -\frac{7}{18}$.

Приближенное значение $a = -\frac{1}{3}$.

Для вычисления разности приведем дроби к общему знаменателю 18:

$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = -\frac{6}{18}$.

Погрешность равна: $\Delta = |-\frac{7}{18} - (-\frac{1}{3})| = |-\frac{7}{18} + \frac{1}{3}| = |-\frac{7}{18} + \frac{6}{18}| = |-\frac{1}{18}| = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

4) Найдем погрешность приближения числа $\frac{3}{11}$ числом $0,272$.

Точное значение $x = \frac{3}{11}$.

Приближенное значение $a = 0,272$.

Для вычисления разности представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,272 = \frac{272}{1000} = \frac{272:8}{1000:8} = \frac{34}{125}$.

Теперь найдем разность, приведя дроби к общему знаменателю $11 \cdot 125 = 1375$:

$\Delta = |\frac{3}{11} - \frac{34}{125}| = |\frac{3 \cdot 125}{11 \cdot 125} - \frac{34 \cdot 11}{125 \cdot 11}| = |\frac{375}{1375} - \frac{374}{1375}| = |\frac{375 - 374}{1375}| = |\frac{1}{1375}| = \frac{1}{1375}$.

Ответ: $\frac{1}{1375}$.

667. Доказать, что число 3,5 есть приближённое значение числа 3,5478 с точностью до 0,05.

Для того чтобы доказать, что одно число является приближенным значением другого с определенной точностью, необходимо найти абсолютную погрешность (ошибку) приближения и сравнить ее с заданной точностью.

Число $a$ является приближенным значением числа $x$ с точностью до $h$, если выполняется неравенство:

$|x - a| < h$

В нашей задаче:

• Точное число $x = 3,5478$
• Приближенное значение $a = 3,5$
• Точность $h = 0,05$

Вычислим абсолютную погрешность, то есть модуль разности между точным и приближенным значениями:

$|x - a| = |3,5478 - 3,5| = |0,0478| = 0,0478$

Теперь сравним полученную абсолютную погрешность ($0,0478$) с заданной точностью ($0,05$):

$0,0478 < 0,05$

Данное неравенство является верным. Так как абсолютная погрешность меньше заданной точности, то утверждение доказано.

Ответ: число 3,5 является приближенным значением числа 3,5478 с точностью до 0,05, поскольку абсолютная погрешность $|3,5478 - 3,5| = 0,0478$ меньше, чем $0,05$.

668. Вычислить:

1) $(\frac{2}{9})^{-7} : (\frac{2}{9})^5;$

2) $(\frac{1}{3})^{-9} \cdot (\frac{1}{3})^6;$

3) $(\frac{1}{2})^4 : (\frac{1}{2})^8;$

4) $(2,5)^7 : (2,5)^9;$

5) $(-0,4)^6 \cdot 5^6;$

6) $(-0,2)^{15} \cdot (-5)^{15};$

1) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{2}{9})^{-7} : (\frac{2}{9})^{5}$, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(\frac{2}{9})^{-7} : (\frac{2}{9})^{5} = (\frac{2}{9})^{-7-5} = (\frac{2}{9})^{-12}$.
Далее, используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-k} = (\frac{1}{a})^k$.
$(\frac{2}{9})^{-12} = (\frac{9}{2})^{12}$.
Ответ: $(\frac{9}{2})^{12}$.

2) Для вычисления $(1\frac{1}{3})^{-9} \cdot (1\frac{1}{3})^6$ сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{4}{3})^{-9} \cdot (\frac{4}{3})^{6}$.
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{4}{3})^{-9+6} = (\frac{4}{3})^{-3}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем:
$(\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.
Ответ: $\frac{27}{64}$.

3) В выражении $(1\frac{1}{2})^4 : (1\frac{1}{2})^8$ преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Получаем: $(\frac{3}{2})^4 : (\frac{3}{2})^8$.
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$(\frac{3}{2})^{4-8} = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем:
$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$.

4) Для вычисления $(2,5)^7 : (2,5)^9$ используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$(2,5)^{7-9} = (2,5)^{-2}$.
Представим десятичную дробь $2,5$ в виде обыкновенной: $2,5 = \frac{5}{2}$.
Получаем $(\frac{5}{2})^{-2}$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$.

5) В выражении $(-0,4)^6 \cdot 5^6$ основания разные, но показатели степени одинаковые. Используем свойство умножения степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(-0,4 \cdot 5)^6 = (-2)^6$.
Возводим в степень. Поскольку показатель степени $6$ является четным числом, результат будет положительным:
$(-2)^6 = 64$.
Ответ: $64$.

6) В выражении $(-0,2)^{15} \cdot (-5)^{15}$ также используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$((-0,2) \cdot (-5))^{15}$.
Выполним умножение в скобках. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-0,2) \cdot (-5) = 1$.
В результате получаем $(1)^{15}$.
$1^{15} = 1$.
Ответ: $1$.

669. 1) Упростить выражение $(4x^3y^{-1} - y^2)xy$ и найти его значение при $x=-2, y=-0.2$.

2) Упростить выражение $(3a^{-1}b - 10b^5) : b^3$ и найти его значение при $a=-0.75, b=0.2$.

1) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки. Для этого умножим каждый член в скобках на $xy$. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и тот факт, что любое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$).

$(4x^{-3}y^{-1} - y^2)xy = (4x^{-3}y^{-1}) \cdot (xy) - y^2 \cdot (xy) = 4x^{-3+1}y^{-1+1} - xy^{2+1} = 4x^{-2}y^0 - xy^3 = 4x^{-2} - xy^3$.

Используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), выражение можно переписать в виде:

$\frac{4}{x^2} - xy^3$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x = -2$ и $y = -0,2$.

$\frac{4}{(-2)^2} - (-2) \cdot (-0,2)^3 = \frac{4}{4} - (-2) \cdot (-0,008) = 1 - (2 \cdot 0,008) = 1 - 0,016 = 0,984$.

Ответ: $0,984$.

2) Сначала упростим данное выражение, разделив каждый член в скобках на $b^3$. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(3a^{-1}b - 10b^5) : b^3 = (3a^{-1}b^1) : b^3 - (10b^5) : b^3 = 3a^{-1}b^{1-3} - 10b^{5-3} = 3a^{-1}b^{-2} - 10b^2$.

Используя определение степени с отрицательным показателем, выражение можно переписать в виде:

$\frac{3}{ab^2} - 10b^2$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -0,75$ и $b = 0,2$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $a = -0,75 = -\frac{3}{4}$, $b = 0,2 = \frac{1}{5}$.

$\frac{3}{a \cdot b^2} - 10b^2 = \frac{3}{(-\frac{3}{4}) \cdot (\frac{1}{5})^2} - 10 \cdot (\frac{1}{5})^2 = \frac{3}{(-\frac{3}{4}) \cdot \frac{1}{25}} - 10 \cdot \frac{1}{25} = \frac{3}{-\frac{3}{100}} - \frac{10}{25} = 3 \cdot (-\frac{100}{3}) - \frac{2}{5} = -100 - 0,4 = -100,4$.

Ответ: $-100,4$.

670. Возвести в степень:

1) $(a^{-2}+\frac{1}{2})^2$;

2) $(b^{-1}-\frac{1}{4})^2$;

3) $(\frac{1}{3}-b^{-1})^3$;

4) $(a^{-2}+\frac{1}{3})^2$.

1) Для возведения в квадрат выражения $(a^{-2} + \frac{1}{2})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{-2}$ и $y = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^{-2} + \frac{1}{2})^2 = (a^{-2})^2 + 2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$

Теперь упростим каждый член выражения:

$(a^{-2})^2 = a^{-2 \cdot 2} = a^{-4}$

$2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{2} = a^{-2}$

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Сложив полученные члены, получаем итоговое выражение:

$a^{-4} + a^{-2} + \frac{1}{4}$

Ответ: $a^{-4} + a^{-2} + \frac{1}{4}$

2) Для выражения $(b^{-1} - \frac{1}{4})^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = b^{-1}$ и $y = \frac{1}{4}$.

Подставим в формулу:

$(b^{-1} - \frac{1}{4})^2 = (b^{-1})^2 - 2 \cdot b^{-1} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$

Упростим каждый член:

$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$

$2 \cdot b^{-1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4}b^{-1} = \frac{1}{2}b^{-1}$

$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

В результате получаем:

$b^{-2} - \frac{1}{2}b^{-1} + \frac{1}{16}$

Ответ: $b^{-2} - \frac{1}{2}b^{-1} + \frac{1}{16}$

3) Для возведения в куб выражения $(\frac{1}{3} - b^{-1})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

В этом случае $x = \frac{1}{3}$ и $y = b^{-1}$.

Подставляем значения в формулу:

$(\frac{1}{3} - b^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^3 - 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-1} + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (b^{-1})^2 - (b^{-1})^3$

Упростим каждый член по отдельности:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

$3 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot b^{-1} = \frac{1}{3}b^{-1}$

$3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (b^{-1})^2 = 1 \cdot b^{-2} = b^{-2}$

$(b^{-1})^3 = b^{-1 \cdot 3} = b^{-3}$

Собираем все члены вместе:

$\frac{1}{27} - \frac{1}{3}b^{-1} + b^{-2} - b^{-3}$

Ответ: $\frac{1}{27} - \frac{1}{3}b^{-1} + b^{-2} - b^{-3}$

4) Для выражения $(a^{-2} + \frac{1}{3})^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{-2}$ и $y = \frac{1}{3}$.

Подставим значения в формулу:

$(a^{-2} + \frac{1}{3})^2 = (a^{-2})^2 + 2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Упростим каждый член:

$(a^{-2})^2 = a^{-4}$

$2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}a^{-2}$

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Итоговое выражение:

$a^{-4} + \frac{2}{3}a^{-2} + \frac{1}{9}$

Ответ: $a^{-4} + \frac{2}{3}a^{-2} + \frac{1}{9}$

671. Записать в стандартном виде число:

1) 560 000;

2) 7 831 000;

3) 0,000824;

4) 0,0000012.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а число $n$ — порядком числа.

1) 560 000

Чтобы записать число 560 000 в стандартном виде, необходимо представить его как произведение числа $a$, которое находится в промежутке от 1 (включительно) до 10 (не включительно), и степени числа 10. Для этого переместим запятую в числе 560 000 так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. Получаем 5,6. Теперь определим показатель степени $n$. Мысленно переместив запятую из положения 5,6 в исходное положение (в конец числа 560 000), мы сместим ее на 5 позиций вправо. Смещение вправо соответствует положительному показателю степени. Таким образом, $560\;000 = 5,6 \cdot 10^5$.

Ответ: $5,6 \cdot 10^5$

2) 7 831 000

Аналогично первому пункту, представим число 7 831 000 в стандартном виде. Перемещаем запятую после первой значащей цифры, получаем 7,831. Чтобы вернуться к исходному числу 7 831 000 из 7,831, необходимо сдвинуть запятую на 6 позиций вправо. Значит, показатель степени равен 6. Таким образом, $7\;831\;000 = 7,831 \cdot 10^6$.

Ответ: $7,831 \cdot 10^6$

3) 0,000824

Чтобы записать десятичную дробь 0,000824 в стандартном виде, переместим запятую вправо до первой ненулевой цифры так, чтобы она оказалась после нее. В данном случае, после цифры 8. Получаем 8,24. Теперь определим показатель степени $n$. Чтобы из числа 8,24 получить исходное число 0,000824, нужно переместить запятую на 4 позиции влево. Смещение влево соответствует отрицательному показателю степени. Таким образом, $0,000824 = 8,24 \cdot 10^{-4}$.

Ответ: $8,24 \cdot 10^{-4}$

4) 0,0000012

Представим число 0,0000012 в стандартном виде. Перемещаем запятую вправо, ставя ее после первой значащей цифры 1. Получаем 1,2. Для получения исходного числа 0,0000012 из 1,2, необходимо переместить запятую на 6 позиций влево. Значит, показатель степени будет равен -6. Таким образом, $0,0000012 = 1,2 \cdot 10^{-6}$.

Ответ: $1,2 \cdot 10^{-6}$

672. Результат вычислений записать в стандартном виде:

1) $(2,8 \cdot 10^{-6}) \cdot (3,1 \cdot 10^{-4});$

2) $(1,7 \cdot 10^{-8}) \cdot (4,6 \cdot 10^{5});$

3) $(6,5 \cdot 10^{7}) \cdot (4,6 \cdot 10^{-9});$

4) $(8,2 \cdot 10^{3}) \cdot (2,5 \cdot 10^{-6});$

5) $(7,2 \cdot 10^{5}) : (3 \cdot 10^{10});$

6) $(6 \cdot 10^{-4}) : (1,2 \cdot 10^{8}).$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

1) Для того чтобы перемножить два числа в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их мантиссы (числа от 1 до 10) и отдельно степени десяти, а затем привести результат к стандартному виду.

$(2,8 \cdot 10^{-6}) \cdot (3,1 \cdot 10^{-4}) = (2,8 \cdot 3,1) \cdot (10^{-6} \cdot 10^{-4})$

Вычислим произведение мантисс: $2,8 \cdot 3,1 = 8,68$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^{-6} \cdot 10^{-4} = 10^{-6 + (-4)} = 10^{-10}$.

Соединяем результаты: $8,68 \cdot 10^{-10}$.

Проверяем, соответствует ли результат стандартному виду. Мантисса $8,68$ удовлетворяет условию $1 \le 8,68 < 10$, поэтому число уже в стандартном виде.

Ответ: $8,68 \cdot 10^{-10}$

2) $(1,7 \cdot 10^{-8}) \cdot (4,6 \cdot 10^{5}) = (1,7 \cdot 4,6) \cdot (10^{-8} \cdot 10^{5})$

Вычислим произведение мантисс: $1,7 \cdot 4,6 = 7,82$.

Вычислим произведение степеней: $10^{-8} \cdot 10^{5} = 10^{-8 + 5} = 10^{-3}$.

Результат: $7,82 \cdot 10^{-3}$. Мантисса $7,82$ удовлетворяет условию $1 \le 7,82 < 10$, поэтому число записано в стандартном виде.

Ответ: $7,82 \cdot 10^{-3}$

3) $(6,5 \cdot 10^{7}) \cdot (4,6 \cdot 10^{-9}) = (6,5 \cdot 4,6) \cdot (10^{7} \cdot 10^{-9})$

Вычислим произведение мантисс: $6,5 \cdot 4,6 = 29,9$.

Вычислим произведение степеней: $10^{7} \cdot 10^{-9} = 10^{7 + (-9)} = 10^{-2}$.

Промежуточный результат: $29,9 \cdot 10^{-2}$.

Мантисса $29,9$ больше $10$, поэтому результат нужно привести к стандартному виду. Запишем $29,9$ в стандартном виде: $29,9 = 2,99 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение: $(2,99 \cdot 10^1) \cdot 10^{-2} = 2,99 \cdot 10^{1 + (-2)} = 2,99 \cdot 10^{-1}$.

Ответ: $2,99 \cdot 10^{-1}$

4) $(8,2 \cdot 10^{3}) \cdot (2,5 \cdot 10^{-6}) = (8,2 \cdot 2,5) \cdot (10^{3} \cdot 10^{-6})$

Вычислим произведение мантисс: $8,2 \cdot 2,5 = 20,5$.

Вычислим произведение степеней: $10^{3} \cdot 10^{-6} = 10^{3 + (-6)} = 10^{-3}$.

Промежуточный результат: $20,5 \cdot 10^{-3}$.

Мантисса $20,5$ больше $10$. Приведем ее к стандартному виду: $20,5 = 2,05 \cdot 10^1$.

Подставим в выражение: $(2,05 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 2,05 \cdot 10^{1 + (-3)} = 2,05 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: $2,05 \cdot 10^{-2}$

5) Для того чтобы разделить одно число в стандартном виде на другое, нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно степени десяти.

$(7,2 \cdot 10^{5}) : (3 \cdot 10^{10}) = (7,2 : 3) \cdot (10^{5} : 10^{10})$

Вычислим частное мантисс: $7,2 : 3 = 2,4$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $10^{5} : 10^{10} = 10^{5 - 10} = 10^{-5}$.

Результат: $2,4 \cdot 10^{-5}$. Мантисса $2,4$ удовлетворяет условию $1 \le 2,4 < 10$, поэтому число в стандартном виде.

Ответ: $2,4 \cdot 10^{-5}$

6) $(6 \cdot 10^{-4}) : (1,2 \cdot 10^{8}) = (6 : 1,2) \cdot (10^{-4} : 10^{8})$

Вычислим частное мантисс: $6 : 1,2 = 60 : 12 = 5$.

Вычислим частное степеней: $10^{-4} : 10^{8} = 10^{-4 - 8} = 10^{-12}$.

Результат: $5 \cdot 10^{-12}$. Мантисса $5$ удовлетворяет условию $1 \le 5 < 10$, поэтому число в стандартном виде.

Ответ: $5 \cdot 10^{-12}$

673. Выразить:

1) $7,2 \cdot 10^{-5}$ кг в граммах;

2) $3,4 \cdot 10^{-10}$ км в сантиметрах.

1) Чтобы выразить килограммы в граммах, необходимо использовать соотношение: $1$ килограмм равен $1000$ граммам. В стандартном виде (в виде степени числа 10) это записывается как $1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$.
Для перевода $7,2 \cdot 10^{-5}$ кг в граммы, нужно умножить данное число на $10^3$:
$7,2 \cdot 10^{-5} \text{ кг} = 7,2 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \text{ г}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. В данном случае, основание равно 10, а показатели степеней равны -5 и 3.
$10^{-5} \cdot 10^3 = 10^{-5+3} = 10^{-2}$.
Таким образом, получаем:
$7,2 \cdot 10^{-2} \text{ г}$.
Это значение можно также записать в виде десятичной дроби: $0,072$ г.
Ответ: $7,2 \cdot 10^{-2}$ г.

2) Чтобы выразить километры в сантиметрах, необходимо последовательно выполнить перевод. Сначала переведем километры в метры, а затем метры в сантиметры.
Известно, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$.
Также известно, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 10^2 \text{ см}$.
Следовательно, чтобы найти количество сантиметров в одном километре, нужно перемножить эти значения:
$1 \text{ км} = 10^3 \text{ м} = 10^3 \cdot 10^2 \text{ см} = 10^{3+2} \text{ см} = 10^5 \text{ см}$.
Теперь умножим исходное значение на $10^5$, чтобы перевести его из километров в сантиметры:
$3,4 \cdot 10^{-10} \text{ км} = 3,4 \cdot 10^{-10} \cdot 10^5 \text{ см}$.
Складываем показатели степеней с основанием 10:
$10^{-10} \cdot 10^5 = 10^{-10+5} = 10^{-5}$.
В результате получаем:
$3,4 \cdot 10^{-5} \text{ см}$.
В виде десятичной дроби это значение равно $0,000034$ см.
Ответ: $3,4 \cdot 10^{-5}$ см.

674. Используя калькулятор, выполнить деление:

1) $(2,6 \cdot 10^8) : (7,3 \cdot 10^3)$;

2) $(4,4 \cdot 10^{-3}) : (5,9 \cdot 10^6)$.

1) Чтобы выполнить деление чисел в стандартном виде $(2,6 \cdot 10^8) : (7,3 \cdot 10^3)$, нужно разделить их мантиссы (десятичные части) и вычесть показатель степени делителя из показателя степени делимого.
Запишем операцию в виде дроби и сгруппируем мантиссы и степени:
$ \frac{2,6 \cdot 10^8}{7,3 \cdot 10^3} = \frac{2,6}{7,3} \cdot \frac{10^8}{10^3} $
С помощью калькулятора вычислим частное мантисс:
$ 2,6 : 7,3 \approx 0,356164... $
Теперь выполним действие со степенями:
$ 10^8 : 10^3 = 10^{8-3} = 10^5 $
Результат деления:
$ \approx 0,356164 \cdot 10^5 $
Чтобы привести число к стандартному виду, его мантисса должна быть в диапазоне от 1 до 10. Для этого сдвинем запятую на один знак вправо, уменьшив показатель степени на 1:
$ 0,356164 \cdot 10^5 = 3,56164 \cdot 10^{5-1} = 3,56164 \cdot 10^4 $
Поскольку исходные числа имеют по две значащие цифры (2,6 и 7,3), округлим результат до двух значащих цифр:
$ 3,56164 \cdot 10^4 \approx 3,6 \cdot 10^4 $
Ответ: $ 3,6 \cdot 10^4 $

2) Аналогично выполним деление $(4,4 \cdot 10^{-3}) : (5,9 \cdot 10^6)$.
Запишем операцию:
$ \frac{4,4 \cdot 10^{-3}}{5,9 \cdot 10^6} = \frac{4,4}{5,9} \cdot \frac{10^{-3}}{10^6} $
С помощью калькулятора вычислим частное мантисс:
$ 4,4 : 5,9 \approx 0,745762... $
Теперь выполним действие со степенями. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ 10^{-3} : 10^6 = 10^{-3-6} = 10^{-9} $
Результат деления:
$ \approx 0,745762 \cdot 10^{-9} $
Приведем число к стандартному виду, сдвинув запятую на один знак вправо и уменьшив показатель степени на 1:
$ 0,745762 \cdot 10^{-9} = 7,45762 \cdot 10^{-9-1} = 7,45762 \cdot 10^{-10} $
Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные числа (4,4 и 5,9) заданы с такой же точностью:
$ 7,45762 \cdot 10^{-10} \approx 7,5 \cdot 10^{-10} $
Ответ: $ 7,5 \cdot 10^{-10} $

675. Решить графически уравнение:

1) $x^2 = 6 - x;$

2) $x^2 = 2x + 3;$

3) $x^3 = 10 - x;$

4) $\frac{1}{x} = -2;$

5) $\sqrt{x} = 2;$

6) $\sqrt{x} = 4 - 3x;$

7) $|x| = 5;$

8) $|x| = 2x + 9.$

1) Для решения уравнения $x^2 = 6 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 6 - x$.
График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.
График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$ (точка (0, 6)); если $y=0$, то $x=6$ (точка (6, 0)).
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек можно найти подбором или из самого графика:
Первая точка имеет координаты $(-3, 9)$, так как $(-3)^2 = 9$ и $6 - (-3) = 9$.
Вторая точка имеет координаты $(2, 4)$, так как $2^2 = 4$ и $6 - 2 = 4$.
Абсциссы точек пересечения и являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 2$.

2) Для решения уравнения $x^2 = 2x + 3$ построим графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$.
График $y = x^2$ — стандартная парабола.
График $y = 2x + 3$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=3$, то $y=2(3)+3=9$ (точка (3, 9)).
Графики пересекаются в двух точках. Координаты одной из них мы уже нашли — (3, 9). Найдем вторую точку:
При $x=-1$: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка пересечения (-1, 1).
Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

3) Для решения уравнения $x^3 = 10 - x$ построим графики функций $y = x^3$ и $y = 10 - x$.
График $y = x^3$ — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
График $y = 10 - x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=10$ (точка (0, 10)); если $x=2$, то $y=10-2=8$ (точка (2, 8)).
Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Проверим точку (2, 8):
Для $y=x^3$: при $x=2$, $y=2^3=8$.
Для $y=10-x$: при $x=2$, $y=10-2=8$.
Точка (2, 8) принадлежит обоим графикам. Абсцисса этой точки является решением.

Ответ: $x = 2$.

4) Для решения уравнения $\frac{1}{x} = -2$ построим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -2$.
График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.
График $y = -2$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -2) параллельно оси абсцисс.
Прямая $y = -2$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в третьем квадранте, в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(-0.5, -2)$. Проверим: $\frac{1}{-0.5} = -2$.

Ответ: $x = -0.5$.

5) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$.
График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первом координатном квадранте. Область определения $x \ge 0$.
График $y = 2$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 2).
Прямая пересекает график функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке. Чтобы найти ее абсциссу, подставим $y=2$ в уравнение $y=\sqrt{x}$, получим $\sqrt{x} = 2$. Возведя обе части в квадрат, получим $x = 4$. Точка пересечения (4, 2).

Ответ: $x = 4$.

6) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 4 - 3x$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4 - 3x$.
График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы (как в предыдущем задании).
График $y = 4 - 3x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка (0, 4)); если $x=1$, то $y=4-3(1)=1$ (точка (1, 1)).
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке (1, 1). Проверим:
Для $y=\sqrt{x}$: при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$.
Для $y=4-3x$: при $x=1$, $y=4-3(1)=1$.
Абсцисса этой точки и есть решение.

Ответ: $x = 1$.

7) Для решения уравнения $|x| = 5$ построим графики функций $y = |x|$ и $y = 5$.
График $y = |x|$ — состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина находится в точке (0, 0).
График $y = 5$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 5).
Прямая $y=5$ пересекает график $y = |x|$ в двух точках.
Первая точка пересечения (с лучом $y=x$): $x=5$.
Вторая точка пересечения (с лучом $y=-x$): $-x=5$, то есть $x=-5$.
Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

8) Для решения уравнения $|x| = 2x + 9$ построим графики функций $y = |x|$ и $y = 2x + 9$.
График $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в (0, 0).
График $y = 2x + 9$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=9$ (точка (0, 9)); если $x=-3$, то $y=2(-3)+9=3$ (точка (-3, 3)).
Построив графики, мы видим, что прямая пересекает только левый луч графика $y=|x|$ (луч $y=-x$ для $x < 0$). Найдем точку их пересечения, решив систему:
$y = -x$
$y = 2x + 9$
Отсюда $-x = 2x + 9$, что дает $-3x = 9$, и $x = -3$.
Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. С правым лучом ($y=x$ для $x \ge 0$) пересечений нет, так как уравнение $x=2x+9$ дает корень $x=-9$, не входящий в область $x \ge 0$. Таким образом, решение единственное.

Ответ: $x = -3$.