Номер 675, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 675, страница 259.

Условие.

675. Решить графически уравнение:

1) $x^2 = 6 - x;$

2) $x^2 = 2x + 3;$

3) $x^3 = 10 - x;$

4) $\frac{1}{x} = -2;$

5) $\sqrt{x} = 2;$

6) $\sqrt{x} = 4 - 3x;$

7) $|x| = 5;$

8) $|x| = 2x + 9.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Для решения уравнения $x^2 = 6 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 6 - x$.
График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.
График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$ (точка (0, 6)); если $y=0$, то $x=6$ (точка (6, 0)).
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек можно найти подбором или из самого графика:
Первая точка имеет координаты $(-3, 9)$, так как $(-3)^2 = 9$ и $6 - (-3) = 9$.
Вторая точка имеет координаты $(2, 4)$, так как $2^2 = 4$ и $6 - 2 = 4$.
Абсциссы точек пересечения и являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 2$.

2) Для решения уравнения $x^2 = 2x + 3$ построим графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$.
График $y = x^2$ — стандартная парабола.
График $y = 2x + 3$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$ (точка (0, 3)); если $x=3$, то $y=2(3)+3=9$ (точка (3, 9)).
Графики пересекаются в двух точках. Координаты одной из них мы уже нашли — (3, 9). Найдем вторую точку:
При $x=-1$: $y = (-1)^2 = 1$ и $y = 2(-1) + 3 = 1$. Точка пересечения (-1, 1).
Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

3) Для решения уравнения $x^3 = 10 - x$ построим графики функций $y = x^3$ и $y = 10 - x$.
График $y = x^3$ — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
График $y = 10 - x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=10$ (точка (0, 10)); если $x=2$, то $y=10-2=8$ (точка (2, 8)).
Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Проверим точку (2, 8):
Для $y=x^3$: при $x=2$, $y=2^3=8$.
Для $y=10-x$: при $x=2$, $y=10-2=8$.
Точка (2, 8) принадлежит обоим графикам. Абсцисса этой точки является решением.

Ответ: $x = 2$.

4) Для решения уравнения $\frac{1}{x} = -2$ построим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -2$.
График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.
График $y = -2$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -2) параллельно оси абсцисс.
Прямая $y = -2$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в третьем квадранте, в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(-0.5, -2)$. Проверим: $\frac{1}{-0.5} = -2$.

Ответ: $x = -0.5$.

5) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 2$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$.
График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первом координатном квадранте. Область определения $x \ge 0$.
График $y = 2$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 2).
Прямая пересекает график функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке. Чтобы найти ее абсциссу, подставим $y=2$ в уравнение $y=\sqrt{x}$, получим $\sqrt{x} = 2$. Возведя обе части в квадрат, получим $x = 4$. Точка пересечения (4, 2).

Ответ: $x = 4$.

6) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 4 - 3x$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 4 - 3x$.
График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы (как в предыдущем задании).
График $y = 4 - 3x$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка (0, 4)); если $x=1$, то $y=4-3(1)=1$ (точка (1, 1)).
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке (1, 1). Проверим:
Для $y=\sqrt{x}$: при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$.
Для $y=4-3x$: при $x=1$, $y=4-3(1)=1$.
Абсцисса этой точки и есть решение.

Ответ: $x = 1$.

7) Для решения уравнения $|x| = 5$ построим графики функций $y = |x|$ и $y = 5$.
График $y = |x|$ — состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина находится в точке (0, 0).
График $y = 5$ — горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 5).
Прямая $y=5$ пересекает график $y = |x|$ в двух точках.
Первая точка пересечения (с лучом $y=x$): $x=5$.
Вторая точка пересечения (с лучом $y=-x$): $-x=5$, то есть $x=-5$.
Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

8) Для решения уравнения $|x| = 2x + 9$ построим графики функций $y = |x|$ и $y = 2x + 9$.
График $y = |x|$ — "галочка" с вершиной в (0, 0).
График $y = 2x + 9$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=9$ (точка (0, 9)); если $x=-3$, то $y=2(-3)+9=3$ (точка (-3, 3)).
Построив графики, мы видим, что прямая пересекает только левый луч графика $y=|x|$ (луч $y=-x$ для $x < 0$). Найдем точку их пересечения, решив систему:
$y = -x$
$y = 2x + 9$
Отсюда $-x = 2x + 9$, что дает $-3x = 9$, и $x = -3$.
Это значение удовлетворяет условию $x < 0$. С правым лучом ($y=x$ для $x \ge 0$) пересечений нет, так как уравнение $x=2x+9$ дает корень $x=-9$, не входящий в область $x \ge 0$. Таким образом, решение единственное.

Ответ: $x = -3$.