Номер 680, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 680, страница 260.

Условие.

680. Разложить на множители по образцу $a^2 - 7 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7}):$

1) $a^2 - 13$;

2) $15 - b^2$;

3) $x^2 - 80$;

4) $\frac{18}{41} - x^2$.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Основная идея заключается в том, чтобы представить вычитаемое число или дробь как квадрат некоторого выражения (часто с использованием квадратного корня), как показано в образце $a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a-\sqrt{7})(a+\sqrt{7})$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 - 13$, применим формулу разности квадратов. Для этого представим число 13 как квадрат выражения $\sqrt{13}$, то есть $13 = (\sqrt{13})^2$. Тогда исходное выражение можно записать в виде $a^2 - (\sqrt{13})^2$. Применив формулу, получаем: $a^2 - 13 = (a - \sqrt{13})(a + \sqrt{13})$.

Ответ: $(a - \sqrt{13})(a + \sqrt{13})$

2) Аналогично предыдущему пункту, для разложения выражения $15 - b^2$ на множители используем формулу разности квадратов. Представим число 15 как $(\sqrt{15})^2$. Выражение принимает вид $(\sqrt{15})^2 - b^2$. По формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = \sqrt{15}$ и $y = b$, получаем: $15 - b^2 = (\sqrt{15} - b)(\sqrt{15} + b)$.

Ответ: $(\sqrt{15} - b)(\sqrt{15} + b)$

3) Для разложения на множители выражения $x^2 - 80$ снова воспользуемся формулой разности квадратов. Представим 80 как квадрат некоторого числа: $80 = (\sqrt{80})^2$. В данном случае корень из 80 можно упростить. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. Таким образом, $x^2 - 80 = x^2 - (4\sqrt{5})^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $x^2 - 80 = (x - 4\sqrt{5})(x + 4\sqrt{5})$.

Ответ: $(x - 4\sqrt{5})(x + 4\sqrt{5})$

4) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{18}{41} - x^2$, применим тот же подход. Представим дробь $\frac{18}{41}$ в виде квадрата: $\frac{18}{41} = (\sqrt{\frac{18}{41}})^2$. Упростим корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\sqrt{\frac{18}{41}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{41}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{\sqrt{41}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}}$. Теперь исходное выражение можно записать как $(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}})^2 - x^2$. Используя формулу разности квадратов, получаем: $\frac{18}{41} - x^2 = (\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} - x)(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} + x)$.

Ответ: $(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} - x)(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{41}} + x)$