Номер 681, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 681, страница 260.

Условие.

681. Вычислить:

1) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{160};$

2) $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}};$

3) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33};$

4) $\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3};$

5) $(3\sqrt{12} + 2\sqrt{3})^2;$

6) $(2\sqrt{2} - 3\sqrt{32})^2.$

Решение 3.

Решение 4.

1) Вычислить $\sqrt{10} \cdot \sqrt{160}$

Используем свойство умножения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{160} = \sqrt{10 \cdot 160} = \sqrt{1600}$

Число 1600 можно представить как $40^2$, так как $1600 = 16 \cdot 100 = 4^2 \cdot 10^2 = (4 \cdot 10)^2 = 40^2$.

$\sqrt{1600} = 40$

Ответ: 40

2) Вычислить $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}}$

Произведение двух одинаковых квадратных корней равно подкоренному выражению, так как $(\sqrt{a})^2 = a$.

$\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \left(\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$

Также можно воспользоваться свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Вычислить $\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33}$

Объединим все множители под одним знаком корня, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{33} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 33}$

Заметим, что $33 = 3 \cdot 11$. Подставим это в выражение.

$\sqrt{3 \cdot 11 \cdot (3 \cdot 11)} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 11)^2} = \sqrt{33^2} = 33$

Ответ: 33

4) Вычислить $\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3}$

Снова объединим множители под одним корнем.

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{7 \cdot 21 \cdot 3}$

Разложим число 21 на множители: $21 = 7 \cdot 3$.

$\sqrt{7 \cdot (7 \cdot 3) \cdot 3} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(7 \cdot 3)^2} = \sqrt{21^2} = 21$

Ответ: 21

5) Вычислить $(3\sqrt{12} + 2\sqrt{3})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{12}$.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенное значение обратно в исходное выражение.

$(3 \cdot (2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3})^2 = (6\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2$

Сложим подобные слагаемые в скобках.

$(6\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2 = (8\sqrt{3})^2$

Возведем в квадрат, используя свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.

$(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$

Ответ: 192

6) Вычислить $(2\sqrt{2} - 3\sqrt{32})^2$

Упростим выражение в скобках, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{32}$.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Подставим это значение в исходное выражение.

$(2\sqrt{2} - 3 \cdot (4\sqrt{2}))^2 = (2\sqrt{2} - 12\sqrt{2})^2$

Вычтем подобные слагаемые в скобках.

$(2\sqrt{2} - 12\sqrt{2})^2 = (-10\sqrt{2})^2$

Возведем в квадрат.

$(-10\sqrt{2})^2 = (-10)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$

Ответ: 200