Номер 676, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 676, страница 260.

Условие.

676. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

1) $0.\overline{7}$;

2) $1.\overline{3}$;

3) $2.\overline{31}$;

4) $0.\overline{52}$;

5) $1.1\overline{3}$;

6) $2.3\overline{7}$.

Решение 3.

Решение 4.

1) 0,(7)

Чтобы представить чистую периодическую дробь в виде обыкновенной, нужно в числитель поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, количество которых равно количеству цифр в периоде.
Для $0,(7)$ период равен 7 (одна цифра).
Следовательно, $0,(7) = \frac{7}{9}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$
Умножим на 10 (так как в периоде одна цифра):
$10x = 7,777...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $ \frac{7}{9} $

2) 1,(3)

Представим число в виде суммы целой части и периодической дроби: $1,(3) = 1 + 0,(3)$.
Преобразуем $0,(3)$: период равен 3 (одна цифра).
$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Теперь сложим целую и дробную части:
$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 1,(3) = 1,333...$
$10x = 13,333...$
$10x - x = 13,333... - 1,333...$
$9x = 12$
$x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
Ответ: $ \frac{4}{3} $

3) 2,(31)

Представим число как $2,(31) = 2 + 0,(31)$.
Преобразуем $0,(31)$: период равен 31 (две цифры).
$0,(31) = \frac{31}{99}$.
Сложим целую и дробную части:
$2 + \frac{31}{99} = \frac{2 \cdot 99}{99} + \frac{31}{99} = \frac{198 + 31}{99} = \frac{229}{99}$.
Ответ: $ \frac{229}{99} $

4) 0,(52)

Это чистая периодическая дробь. Период равен 52 (две цифры).
В числитель ставим период (52), в знаменатель — две девятки (99).
$0,(52) = \frac{52}{99}$.
Ответ: $ \frac{52}{99} $

5) 1,1(3)

Это смешанная периодическая дробь. Для преобразования такой дроби нужно из числа, стоящего до конца первого периода (113), вычесть число, стоящее до периода (11), и записать результат в числитель. В знаменатель нужно записать столько девяток, сколько цифр в периоде (одна), и столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (одна).
$1,1(3) = \frac{113 - 11}{90} = \frac{102}{90}$.
Сократим дробь:
$\frac{102}{90} = \frac{51}{45} = \frac{17}{15}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 1,1(3) = 1,1333...$
Умножим на 10, чтобы сместить запятую к началу периода:
$10x = 11,333...$
Умножим на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100x = 113,333...$
Вычтем второе уравнение из третьего:
$100x - 10x = 113,333... - 11,333...$
$90x = 102$
$x = \frac{102}{90} = \frac{17}{15}$
Ответ: $ \frac{17}{15} $

6) 2,3(7)

Это смешанная периодическая дробь. Применим правило.
Число до конца первого периода: 237.
Число до периода: 23.
Цифр в периоде: 1 (значит, одна 9 в знаменателе).
Цифр после запятой до периода: 1 (значит, один 0 в знаменателе).
$2,3(7) = \frac{237 - 23}{90} = \frac{214}{90}$.
Сократим дробь:
$\frac{214}{90} = \frac{107}{45}$.
Проверка алгебраическим методом:
Пусть $x = 2,3(7) = 2,3777...$
$10x = 23,777...$
$100x = 237,777...$
$100x - 10x = 237,777... - 23,777...$
$90x = 214$
$x = \frac{214}{90} = \frac{107}{45}$
Ответ: $ \frac{107}{45} $