Номер 670, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 670, страница 259.

Условие.

670. Возвести в степень:

1) $(a^{-2}+\frac{1}{2})^2$;

2) $(b^{-1}-\frac{1}{4})^2$;

3) $(\frac{1}{3}-b^{-1})^3$;

4) $(a^{-2}+\frac{1}{3})^2$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Для возведения в квадрат выражения $(a^{-2} + \frac{1}{2})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{-2}$ и $y = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^{-2} + \frac{1}{2})^2 = (a^{-2})^2 + 2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$

Теперь упростим каждый член выражения:

$(a^{-2})^2 = a^{-2 \cdot 2} = a^{-4}$

$2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{2} = a^{-2}$

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Сложив полученные члены, получаем итоговое выражение:

$a^{-4} + a^{-2} + \frac{1}{4}$

Ответ: $a^{-4} + a^{-2} + \frac{1}{4}$

2) Для выражения $(b^{-1} - \frac{1}{4})^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = b^{-1}$ и $y = \frac{1}{4}$.

Подставим в формулу:

$(b^{-1} - \frac{1}{4})^2 = (b^{-1})^2 - 2 \cdot b^{-1} \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$

Упростим каждый член:

$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$

$2 \cdot b^{-1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4}b^{-1} = \frac{1}{2}b^{-1}$

$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

В результате получаем:

$b^{-2} - \frac{1}{2}b^{-1} + \frac{1}{16}$

Ответ: $b^{-2} - \frac{1}{2}b^{-1} + \frac{1}{16}$

3) Для возведения в куб выражения $(\frac{1}{3} - b^{-1})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

В этом случае $x = \frac{1}{3}$ и $y = b^{-1}$.

Подставляем значения в формулу:

$(\frac{1}{3} - b^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^3 - 3 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-1} + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (b^{-1})^2 - (b^{-1})^3$

Упростим каждый член по отдельности:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

$3 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot b^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot b^{-1} = \frac{1}{3}b^{-1}$

$3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (b^{-1})^2 = 1 \cdot b^{-2} = b^{-2}$

$(b^{-1})^3 = b^{-1 \cdot 3} = b^{-3}$

Собираем все члены вместе:

$\frac{1}{27} - \frac{1}{3}b^{-1} + b^{-2} - b^{-3}$

Ответ: $\frac{1}{27} - \frac{1}{3}b^{-1} + b^{-2} - b^{-3}$

4) Для выражения $(a^{-2} + \frac{1}{3})^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{-2}$ и $y = \frac{1}{3}$.

Подставим значения в формулу:

$(a^{-2} + \frac{1}{3})^2 = (a^{-2})^2 + 2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Упростим каждый член:

$(a^{-2})^2 = a^{-4}$

$2 \cdot a^{-2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}a^{-2}$

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Итоговое выражение:

$a^{-4} + \frac{2}{3}a^{-2} + \frac{1}{9}$

Ответ: $a^{-4} + \frac{2}{3}a^{-2} + \frac{1}{9}$