Номер 663, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 663, страница 258.

Условие.

663. Найти целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x - 5}{4} - 2 \le \frac{3 - x}{3}, \\ \frac{5x + 1}{5} > \frac{4 - x}{4} \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{10x - 1}{3} - \frac{2 - 5x}{4} < \frac{5 - 3x}{6}, \\ \frac{2x + 1}{2} \ge \frac{3 + 7x}{4} - \frac{5 + 4x}{5} \end{array} \right.$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$ \frac{2x - 5}{4} - 2 \le \frac{3 - x}{3} $

Сначала упростим левую часть, приведя к общему знаменателю 4:

$ \frac{2x - 5 - 2 \cdot 4}{4} \le \frac{3 - x}{3} $

$ \frac{2x - 13}{4} \le \frac{3 - x}{3} $

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства не меняется.

$ 12 \cdot \frac{2x - 13}{4} \le 12 \cdot \frac{3 - x}{3} $

$ 3(2x - 13) \le 4(3 - x) $

Раскроем скобки:

$ 6x - 39 \le 12 - 4x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 6x + 4x \le 12 + 39 $

$ 10x \le 51 $

$ x \le \frac{51}{10} $

$ x \le 5.1 $

Второе неравенство:

$ \frac{5x + 1}{5} > \frac{4 - x}{4} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20. Знак неравенства не меняется.

$ 20 \cdot \frac{5x + 1}{5} > 20 \cdot \frac{4 - x}{4} $

$ 4(5x + 1) > 5(4 - x) $

Раскроем скобки:

$ 20x + 4 > 20 - 5x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 20x + 5x > 20 - 4 $

$ 25x > 16 $

$ x > \frac{16}{25} $

$ x > 0.64 $

Мы получили систему из двух решений: $ \begin{cases} x \le 5.1 \\ x > 0.64 \end{cases} $. Это соответствует промежутку $ (0.64; 5.1] $.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$ \frac{10x - 1}{3} - \frac{2 - 5x}{4} < \frac{5 - 3x}{6} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 6, то есть на 12. Знак неравенства не меняется.

$ 12 \cdot \frac{10x - 1}{3} - 12 \cdot \frac{2 - 5x}{4} < 12 \cdot \frac{5 - 3x}{6} $

$ 4(10x - 1) - 3(2 - 5x) < 2(5 - 3x) $

Раскроем скобки:

$ 40x - 4 - 6 + 15x < 10 - 6x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 55x - 10 < 10 - 6x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 55x + 6x < 10 + 10 $

$ 61x < 20 $

$ x < \frac{20}{61} $

Второе неравенство:

$ \frac{2x + 1}{2} \ge \frac{3 + 7x}{4} - \frac{5 + 4x}{5} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 5, то есть на 20. Знак неравенства не меняется.

$ 20 \cdot \frac{2x + 1}{2} \ge 20 \cdot \frac{3 + 7x}{4} - 20 \cdot \frac{5 + 4x}{5} $

$ 10(2x + 1) \ge 5(3 + 7x) - 4(5 + 4x) $

Раскроем скобки:

$ 20x + 10 \ge 15 + 35x - 20 - 16x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 20x + 10 \ge (35x - 16x) + (15 - 20) $

$ 20x + 10 \ge 19x - 5 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$ 20x - 19x \ge -5 - 10 $

$ x \ge -15 $

Мы получили систему из двух решений: $ \begin{cases} x < \frac{20}{61} \\ x \ge -15 \end{cases} $. Это соответствует промежутку $ [-15; \frac{20}{61}) $.

Так как $0 < \frac{20}{61} < 1$, целыми решениями являются все целые числа от -15 до 0 включительно.

Ответ: -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.