Номер 656, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 656, страница 257.

Условие.

656. Доказать, что если $x > 0,5$ и $y > 4$, то:

1) $4x + 3y > 14$;

2) $2xy - 3 > 1$;

3) $x^2y > 1$;

4) $x^3 + y^2 > 16$.

Решение 3.

Решение 4.

Дано: $x > 0,5$ и $y > 4$. Необходимо доказать следующие неравенства, используя свойства числовых неравенств.

1) $4x + 3y > 14$

Умножим обе части неравенства $x > 0,5$ на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится:
$4 \cdot x > 4 \cdot 0,5$
$4x > 2$
Теперь умножим обе части неравенства $y > 4$ на положительное число 3. Знак неравенства также не изменится:
$3 \cdot y > 3 \cdot 4$
$3y > 12$
Сложим почленно два полученных неравенства $4x > 2$ и $3y > 12$. Так как оба неравенства одного знака ('>'), их можно складывать:
$4x + 3y > 2 + 12$
$4x + 3y > 14$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $2xy - 3 > 1$

Используя исходные данные $x > 0,5$ и $y > 4$, и тот факт, что все части неравенств положительны, перемножим их почленно:
$x \cdot y > 0,5 \cdot 4$
$xy > 2$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):
$2xy > 4$
Наконец, вычтем 3 из обеих частей неравенства:
$2xy - 3 > 4 - 3$
$2xy - 3 > 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $x^2y > 1$

Из условия $x > 0,5$, и так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$x^2 > (0,5)^2$
$x^2 > 0,25$
Теперь у нас есть два неравенства с положительными частями: $x^2 > 0,25$ и $y > 4$. Перемножим их почленно:
$x^2 \cdot y > 0,25 \cdot 4$
$x^2y > 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $x^3 + y^2 > 16$

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части неравенства отдельно.
Из условия $x > 0,5$, так как обе части положительны, возведем их в куб:
$x^3 > (0,5)^3$
$x^3 > 0,125$
Из условия $y > 4$, так как обе части положительны, возведем их в квадрат:
$y^2 > 4^2$
$y^2 > 16$
Теперь сложим почленно два полученных неравенства $x^3 > 0,125$ и $y^2 > 16$:
$x^3 + y^2 > 0,125 + 16$
$x^3 + y^2 > 16,125$
Так как $16,125 > 16$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить:
$x^3 + y^2 > 16$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.