Номер 662, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 662, страница 258.

Условие.

662. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases} 5x - 2 \ge 6x - 1, \\ 4 - 3x > 2x - 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7(x + 1) - 2x > 9 - 4x, \\ 3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5, \\ 13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{4x - 5}{7} < \frac{3x - 8}{4}, \\ \frac{6 - x}{5} - 1 < \frac{14x - 3}{2}. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 5x - 2 \ge 6x - 1, \\4 - 3x > 2x - 6;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$5x - 2 \ge 6x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$5x - 6x \ge -1 + 2$
$-x \ge 1$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le -1$

Теперь решим второе неравенство:
$4 - 3x > 2x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-3x - 2x > -6 - 4$
$-5x > -10$
Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < 2$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. На числовой прямой это будет пересечение множеств $x \le -1$ и $x < 2$. Общим решением является $x \le -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 7(x + 1) - 2x > 9 - 4x, \\3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$7(x + 1) - 2x > 9 - 4x$
Раскроем скобки:
$7x + 7 - 2x > 9 - 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 7 > 9 - 4x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$5x + 4x > 9 - 7$
$9x > 2$
$x > \frac{2}{9}$

Теперь решим второе неравенство:
$3(5 - 2x) - 1 \ge 4 - 5x$
Раскроем скобки:
$15 - 6x - 1 \ge 4 - 5x$
Приведем подобные слагаемые:
$14 - 6x \ge 4 - 5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-6x + 5x \ge 4 - 14$
$-x \ge -10$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$x \le 10$

Решением системы является пересечение решений $x > \frac{2}{9}$ и $x \le 10$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{9}, 10]$.

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5, \\13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3;\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство:
$12x - 3(x + 2) \ge 7x - 5$
$12x - 3x - 6 \ge 7x - 5$
$9x - 6 \ge 7x - 5$
$9x - 7x \ge -5 + 6$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим второе неравенство:
$13x + 6 \le (x - 5) \cdot 2 + 3$
$13x + 6 \le 2x - 10 + 3$
$13x + 6 \le 2x - 7$
$13x - 2x \le -7 - 6$
$11x \le -13$
$x \le -\frac{13}{11}$

Мы получили два условия: $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \le -\frac{13}{11}$. Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, а $-\frac{13}{11} < 0$, не существует такого числа $x$, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: решений нет.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \frac{4x - 5}{7} < \frac{3x - 8}{4}, \\\frac{6 - x}{5} - 1 < \frac{14x - 3}{2};\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство. Для избавления от дробей умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 4, то есть на 28:
$28 \cdot \frac{4x - 5}{7} < 28 \cdot \frac{3x - 8}{4}$
$4(4x - 5) < 7(3x - 8)$
$16x - 20 < 21x - 56$
$56 - 20 < 21x - 16x$
$36 < 5x$
$x > \frac{36}{5}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10:
$10 \left(\frac{6 - x}{5} - 1\right) < 10 \cdot \frac{14x - 3}{2}$
$2(6 - x) - 10 < 5(14x - 3)$
$12 - 2x - 10 < 70x - 15$
$2 - 2x < 70x - 15$
$2 + 15 < 70x + 2x$
$17 < 72x$
$x > \frac{17}{72}$

Решением системы является пересечение решений $x > \frac{36}{5}$ и $x > \frac{17}{72}$. Сравним дроби: $\frac{36}{5} = 7.2$, а $\frac{17}{72} \approx 0.236$. Так как $x$ должен быть больше обоих чисел, выбираем более сильное ограничение: $x > \frac{36}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{36}{5}, +\infty)$.