Номер 655, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 655, страница 257.

Условие.

655. Упростить выражение:

1) $(\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x}) \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2};$

2) $(\frac{1}{a-1} - 1 - \frac{1}{a+1}) \cdot (a^2-1);$

3) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a-b};$

4) $(a+b)(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) $(\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x}) \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$
Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(y-x)(y+x)$, который по формуле разности квадратов равен $y^2-x^2$.
$\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x} = \frac{x(y+x) - x(y-x)}{(y-x)(y+x)} = \frac{xy + x^2 - (xy - x^2)}{y^2-x^2} = \frac{xy + x^2 - xy + x^2}{y^2-x^2} = \frac{2x^2}{y^2-x^2}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{2x^2}{y^2-x^2} \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$.
Сократим общие множители $2x^2$:
$\frac{1}{y^2-x^2} \cdot (x+y)^2 = \frac{(x+y)^2}{y^2-x^2}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$:
$\frac{(x+y)^2}{(y-x)(y+x)} = \frac{y+x}{y-x}$.
Ответ: $\frac{y+x}{y-x}$.

2) $(\frac{1}{a-1} - 1 - \frac{1}{a+1}) \cdot (a^2-1)$
Выполним действия в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2-1$:
$\frac{1(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{1(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1) - (a^2-1) - (a-1)}{a^2-1}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a+1 - a^2+1 - a+1}{a^2-1} = \frac{-a^2+3}{a^2-1}$.
Теперь умножим полученную дробь на $(a^2-1)$:
$\frac{-a^2+3}{a^2-1} \cdot (a^2-1)$.
Сократим на $(a^2-1)$:
$-a^2+3 = 3-a^2$.
Ответ: $3-a^2$.

3) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a-b}$
Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{a^2-b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a-b}$.
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{ab}{a-b}$.
Сократим общие множители $ab$ и $(a-b)$:
$a+b$.
Ответ: $a+b$.

4) $(a+b)(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$
Выполним по действиям. Сначала вычитание в скобках:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$.
Теперь выполним умножение:
$(a+b) \cdot \frac{b-a}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab}$.
Вынесем $-1$ из скобки $(b-a)$, чтобы получить $-(a-b)$:
$\frac{-(a+b)(a-b)}{ab} = \frac{-(a^2-b^2)}{ab}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{-(a^2-b^2)}{ab} : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2} = \frac{-(a^2-b^2)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2-b^2}$.
Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $ab$:
$\frac{-1}{ab} \cdot a^2b^2 = -ab$.
Ответ: $-ab$.