Номер 653, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 653, страница 257.

Условие.

Выполнить действия (653–654).

653. 1) $( \frac{a}{a+1} + 1 ) : ( 1 - \frac{a}{a+1} )$;

2) $( \frac{a}{a+1} + 1 ) : ( 1 - \frac{2a^2}{1-2a^2} )$;

3) $\frac{1-a^2}{1+b} \cdot \frac{1-b^2}{a+a^2} \cdot ( 1 + \frac{a}{1-a} )$;

4) $( a + \frac{b-a}{1+ab} ) : ( 1 - \frac{a(b-a)}{1+ab} )$.

Решение 1.

Решение 4.

1)

Сначала выполним действия в скобках, приводя слагаемые к общему знаменателю.

Упростим первое выражение в скобках:

$ \left(\frac{a}{a+1}+1\right) = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{a+a+1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1} $

Упростим второе выражение в скобках:

$ \left(1-\frac{a}{a+1}\right) = \frac{a+1}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1-a}{a+1} = \frac{1}{a+1} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \left(\frac{2a+1}{a+1}\right) : \left(\frac{1}{a+1}\right) = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{a+1}{1} $

Сокращаем общий множитель $(a+1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{2a+1}{\cancel{a+1}} \cdot \frac{\cancel{a+1}}{1} = 2a+1 $

Ответ: $2a+1$

2)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю.

Первая скобка:

$ \left(\frac{a}{a+1}+1\right) = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{a+a+1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1} $

Вторая скобка:

$ \left(1-\frac{2a^2}{1-2a^2}\right) = \frac{1-2a^2}{1-2a^2} - \frac{2a^2}{1-2a^2} = \frac{1-2a^2-2a^2}{1-2a^2} = \frac{1-4a^2}{1-2a^2} $

Теперь разделим первое упрощенное выражение на второе:

$ \left(\frac{2a+1}{a+1}\right) : \left(\frac{1-4a^2}{1-2a^2}\right) = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{1-4a^2} $

Разложим выражение $1-4a^2$ в знаменателе второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ 1-4a^2 = 1^2 - (2a)^2 = (1-2a)(1+2a) $

Подставим разложение в выражение и сократим общие множители $(2a+1)$:

$ \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{(1-2a)(1+2a)} = \frac{\cancel{2a+1}}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{(1-2a)(\cancel{1+2a})} = \frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)} $

Ответ: $\frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)}$

3)

Сначала упростим выражение в скобках:

$ 1+\frac{a}{1-a} = \frac{1-a}{1-a} + \frac{a}{1-a} = \frac{1-a+a}{1-a} = \frac{1}{1-a} $

Теперь перепишем все выражение, раскладывая числители и знаменатели на множители. Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесем общий множитель за скобки:

$ \frac{1-a^2}{1+b} \cdot \frac{1-b^2}{a+a^2} \cdot \left(\frac{1}{1-a}\right) = \frac{(1-a)(1+a)}{1+b} \cdot \frac{(1-b)(1+b)}{a(1+a)} \cdot \frac{1}{1-a} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $\cancel{(1-a)}$, $\cancel{(1+a)}$, $\cancel{(1+b)}$:

$ \frac{\cancel{(1-a)}\cancel{(1+a)}}{\cancel{1+b}} \cdot \frac{(1-b)\cancel{(1+b)}}{a\cancel{(1+a)}} \cdot \frac{1}{\cancel{1-a}} = \frac{1-b}{a} $

Ответ: $\frac{1-b}{a}$

4)

Выполним действия в каждой из скобок, приводя к общему знаменателю.

Упростим выражение в первой скобке:

$ a+\frac{b-a}{1+ab} = \frac{a(1+ab)}{1+ab} + \frac{b-a}{1+ab} = \frac{a+a^2b+b-a}{1+ab} = \frac{a^2b+b}{1+ab} = \frac{b(a^2+1)}{1+ab} $

Упростим выражение во второй скобке:

$ 1-\frac{a(b-a)}{1+ab} = \frac{1+ab}{1+ab} - \frac{ab-a^2}{1+ab} = \frac{1+ab-(ab-a^2)}{1+ab} = \frac{1+ab-ab+a^2}{1+ab} = \frac{1+a^2}{1+ab} $

Теперь выполним деление полученных выражений:

$ \left(\frac{b(a^2+1)}{1+ab}\right) : \left(\frac{1+a^2}{1+ab}\right) = \frac{b(a^2+1)}{1+ab} \cdot \frac{1+ab}{1+a^2} $

Сокращаем общие множители $\cancel{(a^2+1)}$ и $\cancel{(1+ab)}$:

$ \frac{b\cancel{(a^2+1)}}{\cancel{1+ab}} \cdot \frac{\cancel{1+ab}}{\cancel{1+a^2}} = b $

Ответ: $b$