Номер 648, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 648, страница 256.

Условие.

Выполнить действия (648–652).

648. 1) $ \frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}; $ 2) $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab^2} + \frac{1}{a^2b}; $ 3) $ \frac{1}{14x^3} - \frac{1}{21x^2y} - \frac{1}{4xy^2}; $ 4) $ \frac{2}{3x^2y} + \frac{3}{5xy^2} - \frac{5}{4y^3}. $

Решение 1.

Решение 4.

1) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$
Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Для знаменателей $ab$ и $ac$ наименьшим общим знаменателем является $abc$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
- для первой дроби $\frac{a-b}{ab}$ дополнительный множитель: $\frac{abc}{ab} = c$;
- для второй дроби $\frac{a-c}{ac}$ дополнительный множитель: $\frac{abc}{ac} = b$.
Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:
$\frac{c(a-b)}{abc} - \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a-b) - b(a-c)}{abc}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{ac - bc - (ab - bc)}{abc} = \frac{ac - bc - ab + bc}{abc}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{ac - ab}{abc}$
Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки и сократим дробь:
$\frac{a(c-b)}{abc} = \frac{c-b}{bc}$
Ответ: $\frac{c-b}{bc}$

2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab^2} + \frac{1}{a^2b}$
Для сложения дробей найдем их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей $a^2$, $ab^2$ и $a^2b$ он равен $a^2b^2$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{1}{a^2}$: $\frac{a^2b^2}{a^2} = b^2$;
- для $\frac{1}{ab^2}$: $\frac{a^2b^2}{ab^2} = a$;
- для $\frac{1}{a^2b}$: $\frac{a^2b^2}{a^2b} = b$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{1 \cdot b^2}{a^2b^2} + \frac{1 \cdot a}{a^2b^2} + \frac{1 \cdot b}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a + b}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a+b+b^2}{a^2b^2}$

3) $\frac{1}{14x^3} - \frac{1}{21x^2y} - \frac{1}{4xy^2}$
Найдем наименьший общий знаменатель. Сначала для числовых коэффициентов 14, 21 и 4.
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$4 = 2^2$
НОК(14, 21, 4) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
Теперь для переменных частей: $x^3$, $x^2y$, $xy^2$. Берем переменные с наибольшими показателями степени: $x^3$ и $y^2$.
Общий знаменатель: $84x^3y^2$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{1}{14x^3}$: $\frac{84x^3y^2}{14x^3} = 6y^2$;
- для $\frac{1}{21x^2y}$: $\frac{84x^3y^2}{21x^2y} = 4xy$;
- для $\frac{1}{4xy^2}$: $\frac{84x^3y^2}{4xy^2} = 21x^2$.
Выполним действия:
$\frac{1 \cdot 6y^2}{84x^3y^2} - \frac{1 \cdot 4xy}{84x^3y^2} - \frac{1 \cdot 21x^2}{84x^3y^2} = \frac{6y^2 - 4xy - 21x^2}{84x^3y^2}$
Ответ: $\frac{6y^2 - 4xy - 21x^2}{84x^3y^2}$

4) $\frac{2}{3x^2y} + \frac{3}{5xy^2} - \frac{5}{4y^3}$
Найдем наименьший общий знаменатель. Для коэффициентов 3, 5 и 4 НОК(3, 5, 4) = 60.
Для переменных частей $x^2y$, $xy^2$ и $y^3$ общий знаменатель будет $x^2y^3$.
Итого, общий знаменатель равен $60x^2y^3$.
Найдем дополнительные множители:
- для $\frac{2}{3x^2y}$: $\frac{60x^2y^3}{3x^2y} = 20y^2$;
- для $\frac{3}{5xy^2}$: $\frac{60x^2y^3}{5xy^2} = 12xy$;
- для $\frac{5}{4y^3}$: $\frac{60x^2y^3}{4y^3} = 15x^2$.
Выполним действия:
$\frac{2 \cdot 20y^2}{60x^2y^3} + \frac{3 \cdot 12xy}{60x^2y^3} - \frac{5 \cdot 15x^2}{60x^2y^3} = \frac{40y^2 + 36xy - 75x^2}{60x^2y^3}$
Ответ: $\frac{40y^2 + 36xy - 75x^2}{60x^2y^3}$