Номер 647, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 647, страница 256.

Условие.

647. Сократить дробь:

1) $\frac{a^2 - 16}{a^2 - 8a + 16}$;

2) $\frac{4 - a^2}{a + 2}$;

3) $\frac{4x^2 - 9}{2x^2 + 3x}$;

4) $\frac{3b^2 - 12b + 12}{b^2 - 4}$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-16}{a^2-8a+16}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2-16$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a^2-16 = a^2 - 4^2 = (a-4)(a+4)$.
Знаменатель $a^2-8a+16$ является полным квадратом, который раскладывается по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:
$a^2-8a+16 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a-4)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)^2} = \frac{(a-4)(a+4)}{(a-4)(a-4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a-4)$:
$\frac{a+4}{a-4}$.
Ответ: $\frac{a+4}{a-4}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{4-a^2}{a+2}$.
Разложим числитель $4-a^2$ как разность квадратов по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$4-a^2 = 2^2 - a^2 = (2-a)(2+a)$.
Знаменатель равен $a+2$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($2+a = a+2$), мы можем сократить этот общий множитель:
$2-a$.
Ответ: $2-a$.

3) Сократим дробь $\frac{4x^2-9}{2x^2+3x}$.
Числитель $4x^2-9$ является разностью квадратов:
$4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$.
В знаменателе $2x^2+3x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2+3x = x(2x+3)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2x-3)(2x+3)}{x(2x+3)}$.
Сократим общий множитель $(2x+3)$:
$\frac{2x-3}{x}$.
Ответ: $\frac{2x-3}{x}$.

4) Сократим дробь $\frac{3b^2-12b+12}{b^2-4}$.
В числителе $3b^2-12b+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(b^2-4b+4)$.
Выражение в скобках, $b^2-4b+4$, является полным квадратом:
$b^2-4b+4 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = (b-2)^2$.
Таким образом, числитель равен $3(b-2)^2$.
Знаменатель $b^2-4$ является разностью квадратов:
$b^2-4 = b^2 - 2^2 = (b-2)(b+2)$.
Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{3(b-2)^2}{(b-2)(b+2)} = \frac{3(b-2)(b-2)}{(b-2)(b+2)}$.
Сократим общий множитель $(b-2)$:
$\frac{3(b-2)}{b+2}$.
Ответ: $\frac{3(b-2)}{b+2}$.