Номер 10, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 10, страница 254.

Условие.

10. Корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ являются числа $x_1$ и $x_2$. Составить уравнение, корнями которого являются числа $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $y_2 = x_2 + \frac{1}{x_1}$. Отметим, что для существования таких корней необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что эквивалентно условию $q = x_1 x_2 \neq 0$.

Новое квадратное уравнение (назовем его приведенным) будет иметь вид $y^2 + P y + Q = 0$, где $P$ и $Q$ — новые коэффициенты. По теореме Виета для нового уравнения:

$P = -(y_1 + y_2)$

$Q = y_1 \cdot y_2$

Найдем сумму новых корней $y_1 + y_2$, выразив ее через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения:

$y_1 + y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right) + \left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = (x_1 + x_2) + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Теперь подставим известные соотношения:

$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -p + \frac{-p}{q} = -p\left(1 + \frac{1}{q}\right) = -p\frac{q+1}{q}$

Следовательно, коэффициент $P = -(y_1 + y_2) = p\frac{q+1}{q}$.

Теперь найдем произведение новых корней $y_1 \cdot y_2$:

$y_1 \cdot y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right) \cdot \left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = x_1 x_2 + x_1 \cdot \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \cdot x_2 + \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_1}$

$y_1 \cdot y_2 = x_1 x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1 x_2} = x_1 x_2 + 2 + \frac{1}{x_1 x_2}$

Подставим известные соотношения:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2 + \frac{1}{q} = \frac{q^2 + 2q + 1}{q} = \frac{(q+1)^2}{q}$

Следовательно, коэффициент $Q = y_1 \cdot y_2 = \frac{(q+1)^2}{q}$.

Теперь мы можем составить новое приведенное квадратное уравнение, подставив найденные $P$ и $Q$:

$y^2 + \left(p\frac{q+1}{q}\right)y + \frac{(q+1)^2}{q} = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $q$ (мы уже установили, что $q \neq 0$):

$q y^2 + p(q+1)y + (q+1)^2 = 0$

Заменив переменную $y$ на стандартную $x$, получим искомое уравнение.

Ответ: $q x^2 + p(q+1) x + (q+1)^2 = 0$.