Номер 7, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 7, страница 254.

Условие.

7. Два маляра, работая вместе, выполнят заказ за 6 дней. За сколько дней мог бы выполнить заказ каждый маляр, работая один, если одному из них потребовалось бы для этого на 5 дней больше, чем другому?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть время, за которое первый маляр может выполнить всю работу в одиночку, равно $x$ дней.

Тогда, согласно условию, второму маляру потребуется на 5 дней больше, то есть $(x + 5)$ дней.

Производительность (скорость работы) первого маляра составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в день.

Производительность второго маляра составляет $\frac{1}{x+5}$ часть работы в день.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$ работы в день.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 6 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в день.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи.

Значит, время работы первого маляра составляет 10 дней.

Тогда время работы второго маляра составляет $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: один маляр мог бы выполнить заказ за 10 дней, а другой — за 15 дней.