Номер 5, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 254.

Условие.

5. Решить уравнение

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{24-10x}{x^2-2x}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы уравнение имело смысл, знаменатели дробей не должны равняться нулю. Найдем значения $x$, которые необходимо исключить из рассмотрения.

• Из знаменателя $x-2$ следует, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
• Из знаменателя $x$ следует, что $x \neq 0$.
• Из знаменателя $x^2 - 2x$ следует, что $x^2 - 2x \neq 0$. Разложив его на множители, получаем $x(x-2) \neq 0$, что дает те же условия: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, область допустимых значений: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{24 - 10x}{x^2 - 2x}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x^2 - 2x = x(x-2)$, поэтому общий знаменатель равен $x(x-2)$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{x \cdot x(x-2)}{x-2} + \frac{3 \cdot x(x-2)}{x} = \frac{(24 - 10x) \cdot x(x-2)}{x(x-2)}$

После сокращения (учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$), получаем:

$x \cdot x + 3(x-2) = 24 - 10x$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 3x - 6 = 24 - 10x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x + 10x - 6 - 24 = 0$

$x^2 + 13x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=13$, $c=-30$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 169 + 120 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Проверка корней

Теперь необходимо сравнить полученные корни с областью допустимых значений ($x \neq 0$, $x \neq 2$).

• Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель $x-2$ (и $x^2-2x$) обращается в ноль. Следовательно, этот корень является посторонним.
• Корень $x_2 = -15$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-15 \neq 0$ и $-15 \neq 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $-15$