Номер 1, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 253.

Условие.

1. Решить уравнение:

а) $3x^2 = 0;$

б) $(x+1)(x-1) = 0;$

в) $4x^2 - 1 = 0;$

г) $3x^2 = 5x;$

д) $4x^2 - 4x + 1 = 0;$

е) $x^2 - 16x - 17 = 0;$

ж) $0,3x^2 + 5x = 2;$

з) $x^2 - 4x + 5 = 0.$

Последнее уравнение (з) решить графическим способом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{0}{3}$

$x^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем единственный корень:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

б) $(x+1)(x-1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x+1=0$ или $x-1=0$

Решая каждое из этих линейных уравнений, находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$

в) $4x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 1$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$:

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = -0.5$

г) $3x^2 = 5x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$3x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x-5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $3x-5=0$

Решаем второе уравнение:

$3x = 5$

$x_2 = \frac{5}{3}$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{3}$

д) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$

Извлекаем корень:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = 0.5$

е) $x^2 - 16x - 17 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = -17$

Методом подбора находим, что корни равны 17 и -1.

$x_1 = 17, x_2 = -1$

Проверка: $17 + (-1) = 16$, $17 \cdot (-1) = -17$.

Также можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 = 18^2$.

$x_{1,2} = \frac{-(-16) \pm 18}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 18}{2}$.

$x_1 = \frac{16+18}{2} = 17$, $x_2 = \frac{16-18}{2} = -1$.

Ответ: $x_1 = 17, x_2 = -1$

ж) $0,3x^2 + 5x = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$0,3x^2 + 5x - 2 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 50x - 20 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac$.

$D = 50^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 2500 + 240 = 2740$.

$\sqrt{D} = \sqrt{2740} = \sqrt{4 \cdot 685} = 2\sqrt{685}$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-50 \pm 2\sqrt{685}}{2 \cdot 3} = \frac{-50 \pm 2\sqrt{685}}{6} = \frac{2(-25 \pm \sqrt{685})}{6} = \frac{-25 \pm \sqrt{685}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-25 + \sqrt{685}}{3}, x_2 = \frac{-25 - \sqrt{685}}{3}$

з) $x^2 - 4x + 5 = 0$

Для решения этого уравнения графическим способом рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения графика этой функции с осью Ox.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 5$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = \frac{-b}{2a}$:

$x_в = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Подставим $x_в = 2$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_в$:

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее вершина $(2, 1)$ находится выше оси Ox (так как $y_в = 1 > 0$), парабола не пересекает ось Ox. Следовательно, у уравнения нет точек пересечения с осью Ox.

Это означает, что уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней.

Для проверки можно вычислить дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: нет действительных корней.