Номер 2, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 253.

Условие.

2. Разложить на множители:

a) $x^2+x-6;$

б) $2x^2-x-3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 + x - 6$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$ на множители, необходимо найти его корни, решив квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$. После нахождения корней $x_1$ и $x_2$ применяется формула разложения: $a(x-x_1)(x-x_2)$.

1. Приравняем трехчлен к нулю для нахождения корней:

$x^2 + x - 6 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.

2. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

3. Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

4. Подставим полученные корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$, а также коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 + x - 6 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$

Ответ: $(x+3)(x-2)$

б) $2x^2 - x - 3$

Используем тот же метод, что и в предыдущем пункте.

1. Приравняем трехчлен к нулю:

$2x^2 - x - 3 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-3$.

2. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

3. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

4. Подставим корни $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{3}{2}$ и коэффициент $a=2$ в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 - x - 3 = 2(x - (-1))(x - \frac{3}{2}) = 2(x+1)(x - \frac{3}{2})$

Для более удобного вида, умножим множитель 2 на скобку с дробью:

$2(x+1)(x - \frac{3}{2}) = (x+1) \cdot 2 \cdot (x - \frac{3}{2}) = (x+1)(2x - 3)$

Ответ: $(x+1)(2x-3)$