Номер 6, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 254.

Условие.

6. Упростить выражение

$\left(\frac{3x-x^2}{x^2-6x+9} - \frac{10x-4x^2}{4x^2-25}\right) \cdot (2x^2-x-15).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить действия: сначала упростить каждую дробь в скобках, затем выполнить вычитание дробей и в конце умножить полученный результат на многочлен $ (2x^2 - x - 15) $.

Начнем с первой дроби $ \frac{3x - x^2}{x^2 - 6x + 9} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ 3x - x^2 = x(3 - x) = -x(x - 3) $.
Знаменатель является полным квадратом: $ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $.
Таким образом, первая дробь равна $ \frac{-x(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{-x}{x - 3} $.

Теперь рассмотрим вторую дробь $ \frac{10x - 4x^2}{4x^2 - 25} $.
Числитель: $ 10x - 4x^2 = 2x(5 - 2x) = -2x(2x - 5) $.
Знаменатель является разностью квадратов: $ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) $.
Таким образом, вторая дробь равна $ \frac{-2x(2x - 5)}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{-2x}{2x + 5} $.

Теперь выполним вычитание в скобках, подставив упрощенные дроби:
$ \frac{-x}{x - 3} - \left(\frac{-2x}{2x + 5}\right) = \frac{-x}{x - 3} + \frac{2x}{2x + 5} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x - 3)(2x + 5) $:
$ \frac{-x(2x + 5)}{(x - 3)(2x + 5)} + \frac{2x(x - 3)}{(x - 3)(2x + 5)} = \frac{-x(2x + 5) + 2x(x - 3)}{(x - 3)(2x + 5)} $.
Упростим числитель:
$ -2x^2 - 5x + 2x^2 - 6x = -11x $.
Результат в скобках: $ \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} $.

Осталось умножить полученную дробь на многочлен $ (2x^2 - x - 15) $. Разложим этот многочлен на множители. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - x - 15 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 $.
Корни: $ x_1 = \frac{1 + \sqrt{121}}{4} = \frac{1 + 11}{4} = 3 $ и $ x_2 = \frac{1 - \sqrt{121}}{4} = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{5}{2} $.
Следовательно, $ 2x^2 - x - 15 = 2(x - 3)(x + \frac{5}{2}) = (x - 3)(2x + 5) $.

Теперь выполним финальное умножение:
$ \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} \cdot (x - 3)(2x + 5) $.
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:
$ -11x $.

Область допустимых значений исходного выражения определяется условиями $ x^2 - 6x + 9 \neq 0 $ (т.е. $ x \neq 3 $) и $ 4x^2 - 25 \neq 0 $ (т.е. $ x \neq \pm \frac{5}{2} $). На этой области упрощение корректно.

Ответ: $ -11x $