Номер 12, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 12, страница 254.

Условие.

12. При делении двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке — 5. При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке — 3. Найти это число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомое двузначное число можно представить как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Из условий задачи следует, что $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$, так как на произведение цифр выполняется деление, и оно не может быть равно нулю.

Первое условие: При делении двузначного числа ($10a+b$) на произведение его цифр ($ab$) в частном получится 2, а в остатке — 5. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 2 \cdot ab + 5$. Также остаток должен быть меньше делителя: $ab > 5$.

Второе условие: При делении числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке ($10b+a$), на сумму его цифр ($a+b$) в частном получается 7, а в остатке — 3. Это можно записать в виде уравнения: $10b + a = 7 \cdot (a + b) + 3$. Также остаток должен быть меньше делителя: $a+b > 3$.

Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} 10a + b = 2ab + 5 \\ 10b + a = 7(a + b) + 3 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, так как оно является линейным:
$10b + a = 7a + 7b + 3$
$10b - 7b = 7a - a + 3$
$3b = 6a + 3$
Разделив обе части на 3, выразим $b$ через $a$:
$b = 2a + 1$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы:
$10a + (2a + 1) = 2a(2a + 1) + 5$
$12a + 1 = 4a^2 + 2a + 5$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4a^2 + 2a - 12a + 5 - 1 = 0$
$4a^2 - 10a + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2a^2 - 5a + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $a$, например, через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$
Получаем два корня:
$a_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$a_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Поскольку $a$ — это цифра, она должна быть целым числом. Следовательно, подходит только корень $a = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 2a + 1$:
$b = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Таким образом, искомое число — 25.

Проверка:

1. Проверяем первое условие для числа 25. Произведение цифр: $2 \cdot 5 = 10$. При делении 25 на 10 получаем частное 2 и остаток 5 ($25 = 2 \cdot 10 + 5$). Условие $ab > 5$ ($10 > 5$) выполнено. Все верно.

2. Проверяем второе условие. Число с переставленными цифрами — 52. Сумма цифр: $2 + 5 = 7$. При делении 52 на 7 получаем частное 7 и остаток 3 ($52 = 7 \cdot 7 + 3$). Условие $a+b > 3$ ($7 > 3$) выполнено. Все верно.

Ответ: 25.