Номер 650, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 650, страница 256.

Условие.

650. 1) $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{1 - a^2}$;

2) $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} + \frac{2x}{9y^2 - 4x^2}$;

3) $1 + 3a + \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2}$;

4) $\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{n^3 - m^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Исходное выражение: $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{1 - a^2}$. Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби: $1 - a^2 = -(a^2 - 1)$. Используем это свойство, чтобы изменить знак перед второй дробью: $\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{-(a^2 - 1)} = \frac{a}{a^2 - 1} + \frac{1}{a^2 - 1}$. Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители: $\frac{a + 1}{a^2 - 1}$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$\frac{a + 1}{(a - 1)(a + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:$\frac{1}{a - 1}$.
Ответ: $\frac{1}{a - 1}$

2) Исходное выражение: $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} + \frac{2x}{9y^2 - 4x^2}$.Знаменатель второй дроби, $9y^2 - 4x^2$, противоположен знаменателю первой, $4x^2 - 9y^2$. То есть, $9y^2 - 4x^2 = -(4x^2 - 9y^2)$.Преобразуем вторую дробь: $\frac{2x}{9y^2 - 4x^2} = \frac{2x}{-(4x^2 - 9y^2)} = -\frac{2x}{4x^2 - 9y^2}$.Теперь выражение выглядит так: $\frac{3y}{4x^2 - 9y^2} - \frac{2x}{4x^2 - 9y^2}$.Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:$\frac{3y - 2x}{4x^2 - 9y^2}$.Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$.Получим: $\frac{3y - 2x}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$.Заметим, что числитель $3y - 2x$ является противоположным выражению $2x - 3y$, то есть $3y - 2x = -(2x - 3y)$.Подставим это в дробь: $\frac{-(2x - 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)}$.Сократим на общий множитель $(2x-3y)$:$-\frac{1}{2x + 3y}$.
Ответ: $-\frac{1}{2x + 3y}$

3) Исходное выражение: $1 + 3a + \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2}$.Сначала упростим сумму дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю. Заметим, что $1 - 9a^2 = (1 - 3a)(1 + 3a)$ и $3a - 1 = -(1 - 3a)$.Преобразуем дроби:$\frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{3a - 1} + \frac{6a}{1 - 9a^2} = \frac{9a^2}{1 + 3a} + \frac{1}{-(1 - 3a)} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)} = \frac{9a^2}{1 + 3a} - \frac{1}{1 - 3a} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)}$.Общий знаменатель равен $(1 - 3a)(1 + 3a)$. Приведем дроби к нему:$\frac{9a^2(1 - 3a)}{(1 + 3a)(1 - 3a)} - \frac{1(1 + 3a)}{(1 - 3a)(1 + 3a)} + \frac{6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)}$.Сложим числители:$\frac{9a^2(1 - 3a) - (1 + 3a) + 6a}{(1 - 3a)(1 + 3a)} = \frac{9a^2 - 27a^3 - 1 - 3a + 6a}{1 - 9a^2} = \frac{-27a^3 + 9a^2 + 3a - 1}{1 - 9a^2}$.Разложим числитель на множители, сгруппировав слагаемые: $-27a^3 + 9a^2 + 3a - 1 = 9a^2(1 - 3a) - (1 - 3a) = (9a^2 - 1)(1 - 3a)$.Подставим в дробь: $\frac{(9a^2 - 1)(1 - 3a)}{1 - 9a^2}$.Так как $9a^2 - 1 = -(1 - 9a^2)$, получаем: $\frac{-(1 - 9a^2)(1 - 3a)}{1 - 9a^2} = -(1 - 3a) = 3a - 1$.Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:$1 + 3a + (3a - 1) = 1 + 3a + 3a - 1 = 6a$.
Ответ: $6a$

4) Исходное выражение: $\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{n^3 - m^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.Знаменатель второй дроби $n^3 - m^3$ является противоположным знаменателю $m^3 - n^3$. То есть, $n^3 - m^3 = -(m^3 - n^3)$.Преобразуем вторую дробь, изменив знак перед ней:$\frac{m^2}{m^3 - n^3} - \frac{mn}{-(m^3 - n^3)} + \frac{n^2}{m^3 - n^3} = \frac{m^2}{m^3 - n^3} + \frac{mn}{m^3 - n^3} + \frac{n^2}{m^3 - n^3}$.Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому можем сложить их числители:$\frac{m^2 + mn + n^2}{m^3 - n^3}$.Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к знаменателю:$\frac{m^2 + mn + n^2}{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}$.Сократим дробь на общий множитель $(m^2 + mn + n^2)$:$\frac{1}{m - n}$.
Ответ: $\frac{1}{m - n}$