Номер 652, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 652, страница 257.

Условие.

652. 1) $\frac{a^3 + 2a^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)}$

2) $\frac{1 - 81b^2}{a^2b^2 - 4} \cdot \frac{ab + 2}{1 - 9b}$

3) $\frac{(a^2 + ab)^2}{a^2 - b^2} : \frac{(a+b)^2}{(ab - b^2)^2}$

4) $\frac{2cd + 4d^2}{12c - 6d} : \frac{4c^2 - 16d^2}{16c^2 - 4d^2}$

Решение 1.

Решение 4.

1) Выполним умножение дробей $ \frac{a^3+2a^2}{a^2-1} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)} $.
Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. В числителе вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $a^3+2a^2 = a^2(a+2)$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Подставим полученные выражения обратно в пример:
$ \frac{a^2(a+2)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)} $.
Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе: $a^2$, $(a+2)$, $(a-1)$ и $(a+1)$.
$ \frac{\cancel{a^2}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{(a+1)^2\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}}{\cancel{a^2}\cancel{(a+2)}} = (a+1)^2 $.
Ответ: $ (a+1)^2 $.

2) Выполним умножение дробей $ \frac{1-81b^2}{a^2b^2-4} \cdot \frac{ab+2}{1-9b} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов.
Числитель: $1-81b^2 = 1^2 - (9b)^2 = (1-9b)(1+9b)$.
Знаменатель: $a^2b^2-4 = (ab)^2 - 2^2 = (ab-2)(ab+2)$.
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{(1-9b)(1+9b)}{(ab-2)(ab+2)} \cdot \frac{ab+2}{1-9b} $.
Запишем все под одной дробной чертой и сократим общие множители $(1-9b)$ и $(ab+2)$:
$ \frac{\cancel{(1-9b)}(1+9b)\cancel{(ab+2)}}{(ab-2)\cancel{(ab+2)}\cancel{(1-9b)}} = \frac{1+9b}{ab-2} $.
Ответ: $ \frac{1+9b}{ab-2} $.

3) Выполним деление дробей $ \frac{(a^2+ab)^2}{a^2-b^2} : \frac{(a+b)^2}{(ab-b^2)^2} $.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:
$ \frac{(a^2+ab)^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{(ab-b^2)^2}{(a+b)^2} $.
Теперь разложим на множители выражения в скобках и знаменатель первой дроби.
$ (a^2+ab)^2 = (a(a+b))^2 = a^2(a+b)^2 $.
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ (ab-b^2)^2 = (b(a-b))^2 = b^2(a-b)^2 $.
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{a^2(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{b^2(a-b)^2}{(a+b)^2} $.
Запишем под одной дробной чертой и сократим общие множители:
$ \frac{a^2(a+b)^2 b^2(a-b)^2}{(a-b)(a+b)(a+b)^2} = \frac{a^2 b^2 (a+b)^2 (a-b)^2}{(a-b)(a+b)^3} $.
Сокращаем $(a-b)$ в числителе и знаменателе, остается $(a-b)$ в числителе.
Сокращаем $(a+b)^2$ в числителе и $(a+b)^3$ в знаменателе, остается $(a+b)$ в знаменателе.
$ \frac{a^2 b^2 (a-b)}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{a^2b^2(a-b)}{a+b} $.

4) Выполним деление дробей $ \frac{2cd+4d^2}{12c-6d} : \frac{4c^2-16d^2}{16c^2-4d^2} $.
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{2cd+4d^2}{12c-6d} \cdot \frac{16c^2-4d^2}{4c^2-16d^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей.
$ 2cd+4d^2 = 2d(c+2d) $.
$ 12c-6d = 6(2c-d) $.
$ 16c^2-4d^2 = 4(4c^2-d^2) = 4(2c-d)(2c+d) $ (разность квадратов).
$ 4c^2-16d^2 = 4(c^2-4d^2) = 4(c-2d)(c+2d) $ (разность квадратов).
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{2d(c+2d)}{6(2c-d)} \cdot \frac{4(2c-d)(2c+d)}{4(c-2d)(c+2d)} $.
Сократим общие множители $4$, $(2c-d)$ и $(c+2d)$.
$ \frac{2d\cancel{(c+2d)}}{6\cancel{(2c-d)}} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{(2c-d)}(2c+d)}{\cancel{4}(c-2d)\cancel{(c+2d)}} = \frac{2d(2c+d)}{6(c-2d)} $.
Сократим дробь $\frac{2}{6}$ на $2$:
$ \frac{d(2c+d)}{3(c-2d)} $.
Ответ: $ \frac{d(2c+d)}{3(c-2d)} $.